13.18.7. Безперервність повного струму

Це поняття означає, що дивергенція його дорівнює нулю. Відомо, що густина повного струму

Зрони =5 + 5.,_м =5 + £р звідки ^

Оскільки просторові координати не залежать від часу, то порядок ди­ференціювання можна змінювати, а саме

(с1іу/>)

Згідно з теоремою Ґаусса у диференціальній формі

сі і v О - р,

а з урахуванням того, що дивергенція густини струму провідності

СІІУб = — - ,

ді

отримаємо, що розбіжність вектора повного струму дорівнює нулю:

поїш ^

тобто він не має джерел і стоків.

13.19. ПОСТІЙНЕ У ЧАСІ МАГНІТНЕ ПОЛЕ 1 ЙОГО ОСНОВНІ ВЕЛИЧИНИ

Під час дослідження магнітного поля слід покладатися на його власти­вості. Властивості магнітного поля визначають за його дією на речовину або матерію, яка не має магнітної' властивості, тобто за побічним його про­

я вом. Дія магнітного поля залежить як від вла­стивостей самого поля, так і від властивостей ре­човини.

Основна властивість незмінного у часі магніт­ного поля — це його вплив як на заряджені елек­трикою речовини, що рухаються в ньому, так і на нерухомі провідники зі струмом.

Як свідчить досвід, магнітне поле завжди спря­моване, тобто є векторним.

Щоб вивчити властивості магнітного поля та кількісно оцінити його, необхідно ввести фізичну величину, яка б визначала його інтенсивність у кожній точці простору. Такою величиною обрано вектор магнітної індук­ції В. Визначають його за значенням сили, з якою магнітне поле діє на електричний контур зі струмом, розміщений у ньому (рис. 13.21).

Нехай провідник зі струмом / розміщено у магнітному полі з індук-. цією В. Якщо провідник лінійний, а його діаметр значно менший за дов­жину, то лінійним елементом струму називають добуток струму на елемент довжини провідника, у якому він тече: Ісії..

Дослідженнями встановлено, що сила, яка діє на лінійний елемент зі струмом,

сі¥^і\сй-В .

Оскільки будь-який електричний струм утворює навколо себе магніт­не поле, то між ними у вакуумі або в повітрі є зв'язок, встановлений Біо-Саваром-Лапласом у вигляді

ц₀[5-І_л]^

сіВ_{)

Якщо провідник лінійний і відстань від центра провідника до місця визначення магнітної Індукції значно більша за його діаметр, то справед­ливі співвідношення

[⁶ • ¹Л ] ^СІУ = [⁵' ї* ]^¹ = [(⁵ "⁵)(^{СІ (>}' ^]К Я ^{= 1} ^¹' ¹А Враховуючи їх, можна записати

ц₀/[Л-1_д]

<іВо =

4кЯ

Здійснивши інтегрування рівняння вздовж всієї довжини Ь замкнено­го електричного кола, в якому тече струм, отримаємо магнітну індукцію створеного ним постійного у часі магнітного поля:

о 4л/?²

Якщо властивості середовища відрізняються від властивостей вакууму, повітря, то магнітну індукцію на відстані від провідника визначають так:

0 4пК²

Процес змінення значення магнітної індукції у різних середовищах при однаковому значенні намагнічувадьного струму пояснюється тим, що магнітне поле збуджується не лише струмом, який тече у провіднику, а й внутрішньомолекулярними струмами речовини, в якій замикається маг­нітний потік.

Другою фізичною величиною, що визначає магнітне поле, є вектор на­пруженості магнітного поля, який не залежить від магнітних властивос­тей середовища:

Ра о 4л;/<²

Досвід свідчить, що будь-яка речовина в магнітному полі намагнічуєть­ся. Внутрішньомолскулярні струми речовин певним чином орієнтуються всередині об'єму речовини і їхнє власне магнітне поле певною мірою впли­ває на зовнішнє магнітне поле. Власне макроскопічне магні тне поле ре­човини характеризується вектором намагніченості ./. Він показує, на­скільки магнітна індукція в середовищі В -ц._а77 відрізняється від магніт­ної Індукції у вакуумі #о ~- Ц₀ Я при однакових значеннях напруженості Н магнітного поля, тобто

В - Ва і.,,,./.

В однорідному середовищі й слабких магнітних полях справедлива рівність

де множник к — магнітна сприйнятливість речовини.

Зазначені вище три величини, які визначають магнітне поле, пов'я­зані між собою такою рівністю:

~В = ц₀7 + ц.₀ Н = ц₍₎ (І +к)Н =цц₀Н = ц_а Я,

де ц, = (] + /с) — відносна магнітна проникність речовини. Ця величина по­казує, у скільки разів проникність речовини перевищує магнітну про­никність вакууму.

13.20. МАГНІТНИЙ ПОТІК ТА ЙОГО БЕЗПЕРЕРВНІСТЬ

Потік вектора магнітної індукції називають магнітним потоком

о

Якщо площина, крізь яку проходить вектор магнітної індукції, перпен­дикулярна до вектора магнітної індукції, то Ф = BS.

Дослідженнями встановлено, що магнітний потік крізь замкнену по­верхню завжди дорівнює нулю, а тому рівняння, яке встановлює безпе­рервність магнітного потоку, в інтегральній ([юрмі має вигляд

S

j BclS = 0.

о

Застосовуючи теорему Остроградського, магнітний потік отримаємо у такому вигляді:

s у о о

Ця рівність виконується для будь-якого об'єму, атому, незалежно від ньо­го, виконується умова

div# = 0.

Ця умова є диференціальною формою принципу безперервності магнітного по­току. Графічно картини магнітних полів зображують за допомогою ліній

вектора магнітної індукції /?, які завжди замкнені па себе або йдуть у не­скінченність.

Якщо магнітна проникність середовища, в якому замикається магніт­не поле, незмінна, тобто ц-const, то

div// = 0.

13.21. ДИФЕРЕНЦІАЛЬНА ФОРМА ЗАКОНУ ПОВНОГО СТРУМУ

Закон повного струму є основним, що характеризує магнітне поле.

Циркуляція вектора напруженості магнітного поля вздовж замкнено­го контуру дорівнює алгебричній сумі струмів, охоплених контуром Інте­грування:

\нdl = i[_k = I_nQlm.

о *=і

Додатний напрямок струму в контурі пов'язують з напрямком обходу контуру за правилом правоходового ґвинта.

Повний струм контуру визначають як суму його складових струмів:

S _

0

Скориставшись теоремою Стокса, можна записати циркуляцію векто­ра напруженості магнітного поля вздовж замкненого контуру у вигляді

L s

j> lld(> - \xo\HdS.

0 о

Отже,

\roUIdS ~\b_mmidS. о о

Оскільки отримані вирази справедливі для будь-якої поверхні інтегру­вання, то рівність встановлюється рівновагою

rot// ~-Л_ІОИ1І,

яка має і шву диференціальної'форми закону повного струму або першого рівнян­ня Максвелла \ відповідає незмінним у часі магнітним полям. Вопасвідчить проте, що магнітне поле вихрове і її ньому робота вздовж замкненого кон­туру інтегрування дорівнює нулю.

Для розрахунку магнітного поля досить скористатися рівняннями

rot/7 -А_0ИІ,

та

div п // =0.

Якщо у просторі розрахунку магнітного поля немає джерела струму, то рівняння спрощуються:

rot//-0; div ц_а Я = 0.

Ці рівняння аналогічні рівнянням для розрахунку електростатичного поля в діелектрику, коли в ньому немає об'ємного заряду. Таким чином, магнітне поле у просторі, вільному від струмів, можна розглядати як потенціальне, що характеризується функцією скалярного магнітного потенціалу <р_м, по­в'язаного з напруженістю магнітного поля співвідношенням

gradcp_M =-#.

13.22. ВЕКТОРНИЙ ПОТЕНЦІАЛ МАГНІТНОГО ПОЛЯ

Якщо є потреба визначити напруженість магнітного поля в середовищі з джерелами струму, тобто Н ~/(5), то безпосередньо розв'язати перше рівняння Максвелла rot// - 8_ПСНШ складно. Іноді доцільно визначити ве­личину А, яка має назву магнітного векторного потенціалу і пов'язана з напруженістю магнітного поля Я таким співвідношенням:

rot А ~ LL, Я.

¹ 4.1

Виходячи з того, що наведене рівняння для векторного потенціалу ви­значає його неоднозначно, потрібно задати його дивергенцію, яка б вка­зувала на те, що лінії струму замкнені самі на себе, тобто

div А 0.

Підставимо в перше рівняння Максвелла вираз напруженості магніт­ного поля, поданий через магнітний векторний потенціал, а саме

//= ¹ rot/1,

Pa

та отримаємо рівняння для розрахунку магнітного поля у середовищі з джерелами струму у вигляді

rot rot Л = p., 8

1ІОІШ '

Відомо, що гоігсЯЛ = йгасі сііу А -V² Л, а оскільки лінії струму замкнені самі на себе, тобто сііу А = 0, то

У²Л = -ц_;і8_П0В1г

Як видно, векторний магнітний потенціал поля визначається рівнян­ням Пуассона, розв'язок якого

- ^кп 5 А= [ -^а

о ^4пК

де /? — відстань від точки, в якій визначається векторний потенціал, до елементів об'єму сІУ, на які поділено об'єм V; 8_повн — густина повного постійного струму. Цим рівнянням зручно користуватися, якщо інтеграл повного розв'язку легко взяти. Якщо струм тече у лінійному провіднику,

то розв'язок рівняння Пуассона з урахуванням того, що

^.кжн^ £ ct.rU аБ = ії^

() ^К 0 0 0

спрощується до вигляду

4 ги ^ Я

13 23 ЗАЛЕЖНІСТЬ МІЖ МАГНІТНИМ ПОТОКОМ ТА МАГНІТНИМ ВЕКТОРНИМ ПОТЕНЦІАЛОМ

За визначенням, магнітний потік с скалярною величиною

Л" _ Ф -|/Ш\

о

Оскільки ротор магнітного векторного потенціалу дорівнює його магнітній індукції, тобто

п >( А ■■■■■■ п_а // ~ />\

то магнітний потік отримаємо у вигляді виразу

Л"

(І) - ]" і-оі АіІ$.

о

Відповідно до теореми Стокса інтеграл по поверхні можна перетвори­ти па інтеграл вздовж замкненого контуру:

/,

Ф ^-§АсІ (\ о

тобто магнітний потік крізь замкнену поверхню 5 дорівнює циркуляції векторного магнітного потенціалу вздовж контуру інтегрування Ь, який охоплює замкнену поверхню.

13.24. ЕНЕРГІЯ МАГНІТНОГО ПОЛЯ

Розглянемо контур зі струмом /, який охоплює поверхню площею £ (рис. 13.22).

Відомо, що енергію магнітного поля, утвореного котушкою зі скінчен­ною кількістю витків и>, можна визначити так:

В изначимо, яким чином енергія магнітного поля розподіляється Б об'ємі, крізь який замикається маг­нітне поле. Для цього поверхню, об­межену контуром зі струмом, по­ділимо на нескінченно малі поверх­ні сіЯ. В цьому разі частина магніт­ного потоку, яка проникає крізь малу поверхню,

d<X>=BdS.

Увесь магнітний потік крізь поверхню площею 5 визначиться сумою його елементарних складових або інтегралом

Ф=\BdS.

о

Побудуємо на кожній з елементарних площин ії8 силові магнітні труб­ки. Оскільки лінії вектора магнітної індукції В завжди замкнені самі на себе, то замкненими будуть і утворені ними силові магнітні трубки. За­гальна кількість силових трубок заповнить увесь об'єм К, в якому замкне­не магнітне поле контуру зі струмом.

Якщо позначити довжину середньої лінії силової трубки через Ь, то циркуляція вектора напруженості магнітного поля Н вздовж осі силової лінії будь-якої силової трубки дорівнюватиме струму контуру:

і

0

Енергія, яку буде запасено в елементарному об'ємі кожної силової трубки, ₁

dW„ = ^Г(!? \BdSifldf.

м

2 2 ^т о

Оскільки в межах однієї трубки магнітний потік можна вважати не­змінним (Ф = BdS - const), тобто незалежним від елемента завдовжки d І середньої лінії силової трубки, то його можна внести під інтеграл як постій­ну величину:

dW_H=§-^BH dldS. о

S S L

0 0 0

Повна енергія, запасена у магнітному полі, створеному контурним стру­мом,

^hn dV= f—dV.

2ц_а

V "^-77 V

м

2

2

о

о

^{BffdldS = \ ~Y~dv^\}

о

Оскільки магнітне поле є вихровим, тобто

5 = rot

отримаємо енергію магнітного поля контуру зі струмом у вигляді

, У

W - І Я юі Ad У.

" 0

З векторного аналізу відомо, що (1іу[Л ■ Я] = Я rot/1 - Л rot Я. З ураху­ванням цього енергія

.V -

И/ =Ifdiv[yi-// ^/К + і[/1гоіЯс/К. м 2 J L -J у ^J

о о

Враховуючи теорему Остроградського-Ґаусса, за якою

V _п Л-

JdivL/l-7/]^^ ^{= t}jj И'Я ^dS- о о "

де £ ■ - замкнена поверхня, яка охоплює об'єм магнітного поля К, і те, що магнітне поле контуру зі струмом необмежене в просторі, атому поверх­ню S можна подати як поверхню кулі з радіусом Rотримаємо, що складова

S

j[A-Il]dS = 0. о

У виразі векторний добуток [А-77] зменшується пропорційно зрос­танню радіуса поверхні кулі в кубі, а елементарна поверхня dS об'єму зростає пропорційно зростанню радіуса поверхні кулі у квадраті. Тому підіптегральпа функція обернено пропорційна радіусу поверхні кулі і при R-> tj наближається до нуля.

Таким чином, з урахуванням першого рівняння Максвелла, згідно з яким циркуляція вектора напруженості магнітного поля вздовж замкне­ного контуру дорівнює його повному струму, тобто rot Я - 8, отримаємо остаточний вираз енергії магнітного поля контуру зі струмом у вигляді

1-У - ⁱ\^]SAdV.

О

Інтегрування поширюється лише на об'єм, зайнятий струмом.

13.25. ПЕРШЕ РІВНЯННЯ МАКСВЕЛЛА

Це рівняння встановлює природну залежність між магнітними та елек­тричними явищами і є диференціальною формою закону повного струму

L S_

§ ^^ ^=/повн=1⁸повн^^-0 о

У рівнянні /_1І()В!( є сумою струму провідності, густина якого о ~. у /:', стру-

< - * ^дР , дЕ

му перенесення з о_пср=ри, струму поляризації 3 £>,_ЮЛЯр " ^ ^^і:()'^Сс у

та струму зміщення у вакуумі з 5₀._ш = е₀ .

01

Слід пам'ятати, що струмом називають два різного роду явища — рух електричних зарядів тазмінення електричного поля у часі, а повним стру­мом називають сукупність усіх явищ, при яких утворюється магнітне поле.

Згідно з теоремою Стокса

L S j і І її f І* rot // dS

0 о

і першим рівнянням Максвелла циркуляцію вектора магнітної індукції вздовж замкненого контуру отримаємо у вигляді виразу

S _ S_ \roxHdS = \6_naBUdS. о о

Наведена рівність справедлива для всього діапазону інтегрування по поверхні S, а тому перше рівняння Максвелла в остаточному вигляді

rot Я = 8_довн .

У винятках, коли можна нехтувати струмом перенесення, густина пов­ного струму

⁵повп = 5 + 8_зм=у£^, + £_а - =уЕ +

дЕ 3D ді ¹ dt

і рівняння Максвелла перетвориться до вигляду

д ІУ

тоШ = уЕ + ■■- .

ді

Фізично це рівняння стверджує положення проте, що вихрове магнітне поле збуджується як струмами провідності, так і змінним у часі електричним полем.

Якщо діелектрик на шляху струму провідності ідеальний і його провідність у = 0, то рівняння Максвелла спроститься до вигляду

dt ^а dt

тобто напруженість магнітного поля // змінюється у просторі пропор­ційно змінений) в часі напруженості електричного поля.

13.26.ДРУГЕ РІВНЯННЯ МАКСВЕЛЛА

Це рівняння являє собою диференціальну форму запису закону елек­тромагнітної індукції, згідно з яким у витку котушки індуктивності в разі змінений зчепленого з ним магнітного потоку збуджується електрорушійна сила

dt '

Узагальнивши цей закон, Максвелл висунув допущення про те, що змінний у часі магнітний потік збуджує електричне поле і тоді, коли немає витка котушки. Так, у магнітному полі з індукцією В магнітний потік, що про­никає крізь будь-яку поверхню 2У, обмежену контуром завдовжки А, ста­новить:

Л'

<\> = \ßdS. о

Якщо Е — напруженість електричного поля, наведена змінним маг­нітним полем, то індукована нею в замкненому контурі електрорушійна сила

L

e^jEd'L о

Припустивши, що поверхня S і контур L, який її обмежує, нерухомі та не деформуються, можна записати вираз циркуляції вектора напруже­ності електричного поля у вигляді

і о

Додатний напрямок обходу контуру L і додатний напрямок нормалі до поверхні добирають так, щоб вони утворювали правоґвинтову систему векторів. Частинні похідні введені у рівняння тому, що ЕРС може наводи­тися не лише внаслідок змінення магнітного потоку в часі, а й унаслідок пересування або деформації контуру інтегрування.

З

а теоремою Стокса відомо, що

L „ _ S

о

^{<f> Ed f, = \ rot EcIS.}

о

Отже,

S

dt

\ro\EdS -\^d^dS

о

Рис. 13.23

Рівність інтегралів зберігається для будь-яких поверхонь S, атому підінтегральні функції рівні між собою:

rot h = —~

ді

і мають назву другого рівняння Максвелла.

Узагальнивши цей закон, Максвелл зазначив, що змінним у часі магніт­ним потоком збуджується вихрове електричне поле.

Оскільки у вихровому полі rot Е * 0, то лінії вектора напруженості елек­тричного поля можуть стати замкненими, причому вони мають охоплю­вати лінії вектора магнітної індукції В (рис. 13.23,«).

Слід пам'ятати, що в електростатичному полі, якщо воно невихрове (rot£ = o), то лінії вектора напруженості розімкнені й починаються на

позитивному заряді (рис. 13.23, б).

YOtE = - и.

Якщо середовище, в якому замикаються силові лінії магнітного поля, ізотропне (ц_а = const), то друге рівняння Максвелла набирає вигляду

дН

dt''

а це означає, що зміна у просторі електричного поля пропорційна зміні у часі магнітного поля.

13.27. ПОВНА СИСТЕМА РІВНЯНЬ ЕЛЕКТРОМАГНІТНОГО ПОЛЯ

Електромагнітне поле можна охарактеризувати чотирма векторами: напруженістю електростатичного поля Е; напруженістю магнітного поля Я; зміщенням електростатичного поля і> індукцією магнітного поля В. У середовищі з незмінними діелектричною та магнітною проникністю між ними існують співвідношення:

І) — Е,

В - ц.ц.0 Я.

Тому при розрахунку електромагнітного поля досить визначити лише два вектори. Зазвичай це вектори напруженості електростатичного та магніт­ного полів, які визначають з рівнянь Максвелла, поданих у вигляді сис­теми

rot Я =уЕ f є_а^р

На жаль, щоб визначити власні розв'язки системи, двох рівнянь недо­статньо, оскільки вектор величини за заданим його ротором однозначно _ие визначається. Тому треба додатково знати ще їхню дивергенцію.

Для електростатичного поля і його діелектричної проникності с_а = const за теоремою Ґаусса в диференціальній формі можна записати додаткові рівняння

div D = р; divA-p/v

Щодо магнітного поля, то слід врахувати його вихровий характер, тоб­то замкненість магнітних силових ліній. При незмінній магнітній проник­ності середовища, в якому воно замикається (ц_а --const), це дає змогу за­писати додаткові рівняння у вигляді

div£ = 0; div Я -0.

Отже, повна система рівнянь електромагнітного поля для середовищ з властивістю v._a - гх₍₎ = const, ц_я -uu₀ - const та у-const набере вигляду

д Е

rottf =у£Чє_{а д{}\

_tff дН. rot*=-u_a -_дГ

div/і =р/«_а;

У розрахунку електромагнітних полів слід враховувати початкові й гра­ничні умови. Наприклад, у момент часу t_ = 0 мають бути заданими зна­чення векторів напруженості полів Е та Н в усіхточках об'єму V, в якому розраховують поле. Крім того, мають бути відомими значення цих век­торів вздовж межі поверхні S і протягом усього проміжку часу, для якого розраховують електромагнітне поле.

Фізичний зміст основних рівнянь електромагнітного поля полягає у тому, що магнітне поле завжди вихрове і збуджується воно як рухомими зарядами, так і змінним у часі електричним полем. Електричне поле може бути вихровим (у цьому разі воно збуджується змінним у часі магнітним полем) і невихровим (якщо воно збуджується постійними у часі електрич­ними зарядами).

Електричні й магнітні поля пов'язані взаємними перетвореннями і являють собою різні прояви єдиного електромагнітного поля, яке перебу­ває в русі й несе з собою запас енергії

V ~b^l V и²

Для постійних у часі процесів рівняння Максвелла спрощуються до двох незалежних систем;

• для електростатичного поля

rot Е = 0; dive, Е - 0;

• для магнітостатичного поля

rot// = 5; divp_a II - 0.