13.2.ДИазЕренціаяьний оператор

Визначення градієнта — це математична процедура складного дифе­ренціювання скалярного потенціалу по осях відповідної координатної си­стеми. Щоб виконати цю операцію, застосовують символ V — набла, який має назву диференціального оператора. Формально цей символ, наприклад у прямокутній системі, є вектором:

ох су оі

Щоб визначити градієнт скалярної величини, її потрібно помножити на вектор V —- набла. Результатом буде векторна величина.

13.3.ДИВЕРГЕНЦІЯ ВЕКТОРНОЇ ВЕЛИЧИНИ

Векторне поле, на відміну від скалярного, не має градієнта, оскільки добуток двох векторів одного напрямку дорівнює нулю:

Е_ХТ] = E_xis\n(E~i )= £_x/sinO° - 0.

Щоб подати векторне поле у вигляді математичного виразу, вводять скалярну величину - дивергенцію, або розбіжність, вектора. Визначення дивергенції є операцією диференціювання векторної величини вздовж

осей координат. _u

Розглянемо у просторі об'єм Г (рис. 13.4), обмежений поверхнею о. Нескінченно малу елементарну площину AS на його поверхні можна вва­жати плоскою і позначити вектором dS, перпендикулярним до площини AS Позитивний напрямок вектора dS визначається за правилом Гвинта при обході елементарної площини AS проти часової стрілки. Нехай роз­глядуваний об'єм перебуває в полі вектора Е. Можна вважати, що із ме­жах малої елементарній площини AS = AxAy вектор Е = const. Скалярний добуток EdS = EdScos(EdS ) назиткт> елементарним потоком вектора Е

через площину dS.

Повний потік вектора Е, який виходитиме з об'єму Гчерсз усю поверх­ню о\ визначиться сумою елементарних потоків або інтегралом по всій поверхні об'єму:

j>EdS. о

^{f{; EdS}

_Потік _ величина скалярна. Межу, до якої прямує відношення повно­го потоку вектора через замкнену поверхню до об'єму, що обмежує його, при К—>0 нззшімоть дивергенцією вектора:

S

V

div£' = lim

Д

ивергенція — скалярна величина, вона до­датна, якщо лінії поля починаються в малому об'ємі, або від'ємна, якщо вони в ньому закін­чуються.

Розглянемо елементарний об'єм dV ~ dxdydz. Розкладемо вектор напруженості електрично­го поля заряду Е на складові Е_х, Е_у, Е_г по осях. В межах малого об'єму ОТ можна вважа­ти, що потік вектора напруженості поля змі­нюється за значенням, тобто в ліву площину

виходить

■ах

о б'єму входить потік Ч> _xl = E_vdydz, а

^х дх

J

dydz. От-

V

ÖE

же, приріст потоку вектора напруже­ності в разі проходження його крізь об'єм вздовж осі X

■dV.

дЕ

а" 2

ox

ОХ

V_xl =^dxdydz

Аналогічно прирости потоків век­тора напруженості в разі проходження їх крізь об'єм вздовж осей у та і'-

^2-^1=­

дЕ.

■dV.

Підсумовуючи прирости потоків вздовж усіх осей та ділячи їх на еле­ментарний об'єм, отримаємо дивергенцію вектора напруженості електрич­ного поля в системі прямокутних координат:

&l"Ed'S дЕ\. dE_v дЕ₇ к->о V дх dy oz

Праву частину цього виразу можна розглядати як скалярний добуток век­тора V= ^ і + ^ 7+ -? £ і вектора Е = Е Т + E_y j + E_zk. Слід зазначити, дх ду' dz

що при скалярному перемноженні векторів отримаємо / ■/ = tfcosO° = l; / -у =/ycos90° = 0. При векторному перемноженні відповідно [і ■/"] = - ііsin 0° = 0, [/ • 7] = у sin 90° = 1 • к. Звідси

div£ = V£.

Слід також пам'ятати, що символ V, застосований до скалярної вели­чини, означає визначення її градієнта. Застосований же до векторної ве­личини, він означає її дивергенцію.

13.4. РОТОР ВЕКТОРНОЇ ВЕЛИЧИНИ

Друга після дивергенції характеристика векторного поля-ротор. Ви­значення векторної величини — ротора - цс також операція диферен­ціювання за координатами. Наприклад, умовне русло річки наведено на рис 13 6 Якшо річка тече без тертя об береги та дно (рис. ІЗ.б, а), то швидкість її течії однакова. Поле швидкості однорідне і вихрових потоків немає Якщо нехтувати тертям об воду, то робота, витрачена на переміщен­ня об'єкта вздовж шляху т, /?, р, а, /», дорівнює нулю. Математично цс записують так:

j> ТкЇЇ ■= 0, о

тобто циркуляція вектора сили 1 вздовж замкненого контуру / в безвих-ровому полі дорівнює нулю.

Якщо враховувати складний профіль річки (рис. 13.6, 0), то в окремих місцяхтечія води матиме вихровий характер. У цьому разі циркуляція век­тора сили /'' вздовж замкненого контуру /»,, //,, Р\ ■, <7і, Щ недорівшова-тиме нулю. Такого виду поля мають назву вихрових. Контур циркуляції може лежати під будь-яким кутом до площини координат. Зменшивши розмір контуру циркуляції до незначних розмірів, можна вважати його плоским.

Відобразимо проекцію поверхні циркуляції вектора В па площину координат (у, z) і зменшимо розмір контуру циркуляції до незначних розмірів, тоді

^{Піп J " (roltf) ,}

або межа підношення отриманої циркуляції вектора В до розміру площи­ни Л\., обмеженої допоміжним контуром циркуляції /, при Л_Л. ->0 має і ул ту складової ротора вектора В вздовж координатної осі, перпендикуляр­ної до площини координат (у, z), па якій лежить площина S_x . Знак ротора визначають за правилом Гвинта, який має обертатися в напрямку обходу контуру а поступовий рух покаже напрямок ротора величини.

Помножуючи кожну складову ротора на одиничний вектор прямокут- ної системи координат і геометрично складаючи їх, отримаємо вектор ротора поля _ у — -

юіВ= lim Щ, / + hm ^ J ⁺ }^im_n—4 ^k-

У сумі кожна циркуляція §'_QBdT - скалярна величина. Більше того, вони різняться між собою, оскільки контури інтегрування обмежують різні площини, а саме S_x, S_y, -Я.

а

т

Тч5* ЇЖ"

Виведемо вираз ротора вектора у пря­мокутній системі координат, тобто роз­рахуємо роботу, яку виконує вектор поля В під час обходу по нескінченно малому замкненому контуру.

Припустимо, що контур розміщено у

просторі і його проекції , АаУ , Л5_гд відомі (рис. 13.7). Кожній проекції об'єму на одну із площин системи координат від­повідатиме складова ротора вектора, яка збігається за напрямком з віссю, перпен­дикулярною до цієї площини.

Розглянемо нескінченно малий кон­тур а, Ь, с, сі, а на площині (х, у). Нехай проекція просторового вектора В всереди­ні цього контуру дорівнює В_ху, а його складові В_х, В_у паралельні осям х, у.

Середні значення сил, зумовлених вектором В_Ху, що діють на сторо­нах прямокутного контуру (рис. 13.8), становлять:

на стороні (а,Ь)- В_х;

на стороні (Ь,с)-В_у+ ^ сіх;

на стороні (сі, с)-В_х +----~ау; на стороні (а,сІ)~В_у.

У цьому разі циркуляція просторового вектора В вздовж контуру а, Ь, с, сі, а відбувається так, щоб (гої #) був додатним, тобто збігався з на­прямком осі (г). Тоді

В_хсІх +

в_{у +}

дх

■СІХ

сіу

В_х+^-сіу

^{І х ду )}

сіх-В_усІу =

V

(дВ_у двА

дх ду

сіхеїу.

Звідси складова ротора просторового вектора В вздовж осі г у прямокутній системі координат

^{(rot 4}

дВ_{у д}В_х

дх

Так само визначають складові ротора просторового вектора В вздовж осей хтлу. У загальному вигляді робота сил поля в об'ємі становить

V

rot В = /"

^f0B_z дВ_у

д.

dz

^:- \ + к

Ох

дВ,

дх ду

або

_{ml В-4 V В}

де прямокутні дужки означаю ть векторний добуток.

Якщо поле не є вихровим, то rot 5 = 0. Дійсно, якщо виразити напру­женість електричного поля Д' через потенціал як

дхду' dz

dydz

і так далі, то отримаємо

rot--rolgrackp = 0.

І Ієн запис доводить, що потепц

іальпе поле не є вихровим. Маючи градієнт,

воно не має ротора. Більше того, якщо поле мас ротор вектора, то його дивергенція іііу Е = 0.

13.5. ЕЛЕКТРОСТАТИЧНЕ ПОЛЕ

Таке поле утворюється нерухомими зарядами і в чистому вигляді не існує оскільки електрони, позитивні заряди, позитрони перебувають у безперервному русі. Однак якщо їх спостерігати на такій відстані, з якої переміщенням електрона в межах атома можна знехтувати, то спостеріга­чу який також переміщується у просторі разом із зарядом, вони здаються практично нерухомими. Окремі електричні заряди завжди охоплені елек­тричним полем — особливим станом матерії, що рухається.

Електричні заряди, які спроможні рухатися, перебуваючи під дією зов­нішнього електричного поля, називають вільними зарядами. Вони вважа­ються носіями струму у провідниках - струму провідності. ^

Заряди які належать нейтральним молекулам діелектриків або є нона­ми закріпленими у твердих діелектриках поблизу певних рівнів рівнова­ги 'нхтшють зв'язаними зарядами. Під впливом зовнішнього електричного

поля вони можуть зміщуватися на невеликі відстані від власного фіксова­ного положення. Таке невелике переміщення їх у діелектрику має назву струму їіоиної поляризації.

Завдяки струму поляризації пояснюється процес встановлення елек­тричного поля в діелектрику конденсатора. Припустимо, що заряду на обкладках конденсатора не було. Під час руху окремих зарядів у провідни­ку від джерела живлення одна із пластин конденсатора збагачується нега­тивними зарядами — електронами. Діелектрик конденсатора опиниться в зоні дії їхнього електричного поля. Його зв'язані заряди зазнають незнач­ного зміщення, а саме їхні позитивні заряди будуть спрямовуватись у на­прямку мінусової пластини конденсатора. У свою чергу, вони своїми не­гативно зарядженими кінцями наведуть позитивні заряди на іншій плас­тині конденсатора. Отже, під час зарядження конденсатора начебто є спільний рух зарядів по замкненому електричному колу, складеному з провідників, які несуть струм провідності, й діелектрика, в якому тече струм поляризації. Як тільки конденсатор зарядиться, течія обох струмів завершиться. Фізична картина зарядження, розрядження конденсатора зберігає свій характер і тоді, коли немає діелектрика між його пластина­ми, наприклад у вакуумі.

Узагальнюючи той факт, що в разі зм імення електричного поля у часі й просторі, здійснюється процес, подібний до зміщення зарядів у діелектри­ку, який поляризується, Дж. Максвелл назвав його електричним зміщен­ням. Поява цього процесу супроводжується виникненням магнітного поля. Так виникла уя ва про струм зміщення у так званому ідеальному діелектри­ку, який не містить ніяких часточок відомих матеріалів. Звичайні технічні діелектрики, хоча і слабкою мірою, характеризуються одночасною наяв­ністю струму зміщення і струму провідності.

13.6. ЕЛЕКТРИЧНИЙ ЗАРЯД

Заряджені тіла містять багато елементарних частинок, які рухаються, але можна вважати загальний заряд тіла нерухомим і розподіленим непе­рервно. Електричні заряди можна вважати такими, які нескінченно ділять­ся, і використовувати поняття густини заряду. Для заряду, розподіленому в просторі, розглядають:

• ^{об'ємну густину заряду р = де заряд в об'ємі д - ^рсІУ;}

сіц . гЗ _/с

• поверхневу густину заряду а = де заряд на поверхні д = \₀ сгоЛ;

• лінійну густину заряду ^{т =} ~^» Д^е заряд вздовж лінії д = ^хсІІ,

Якщо розміри зарядженого тіла незначні порівняно з відстанню від нього до точок, в яких розглядають електричне поле, то заряд такого тіла називають точковим. Густина точкового заряду дорівнює нескінченності.

₊р _{г +ч} р Два точкових заряди одного знака «2 і а) від-

даі—їв- 9 . 1,0-4 11а г_ГІ.р_п_

\_? штовхуються у вакуумі силою £ =к—~. Це гвер

г

Рис. п.9 дження називають законом Кулона. Коефіцієнт

пропорційності к залежить від вибору системи одиниць для сили. Справедливість закону Кулона встановлено для точко­вих зарядів В ізотропному середовищі, властивості якого однакові у будь-якому напрямку, сила відштовхування зарядів менша на значення віднос­ної діелектричної проникності середовища:

Ь -к—г-. єг

Напрямок дії вектора сили Р збігається з прямою, що сполучає заряджені тіла (рис. 13.9).

У векторній формі сила взаємодії має вигляд

Г = Л* І,.

лс 1 - одиничний век тор, спрямований від точки із зарядом Є до точки із зарядом д. У Міжнародній системі одиниць (СІ) коефіцієнт пропорцій­ності Л-і/(4та:₀), де діелектрична проникність вакууму і:₀ *

«8,856-10"¹² Ф/м.

Остаточпосила взаємодіїточкових зарядів, розміщених в ізотропному середовищі з властивостями, які відрізняються від властивостей вакууму, становить, Н,

/• , ^ і .

¹ 9 V

13.7. НАПРУЖЕНІСТЬ ЕЛЕКТРОСТАТИЧНОГО ПОЛЯ

Електричний заряд завжди пов'язаний з електромагнітним полем. Якщо заряд нерухомий, то його електричне поле статичне. Щоб описати електростатичне поле, застосовують векторну величину - силу. Чим мен­ший заряд д, тим менша сила Р, що діє на нього, однак їх відношення -скінченна величина: _

1= Ііт—.

і/->о д

Межу відношення сили ^, що діє на пробний електричний заряд, до цього заряду д, який наближається до нуля, називають напруженістю елек­

тричного поля. Отже, для точкового заряду

л 2 '"

Одиниця напруженості електричного поля — вольт на метр (В/м).

Напруженість визначається силою взаємодії зарядів, але сама вона не є силою, оскільки сила проявляє себе за наявності двох або більшої кількості зарядів і, крім того, напруженість заряду ніколи на дорівнює нулю. Тому елек­тростатичне поле можна розглядати як векторне поле напруженості К, яка залежить від властивостей середовища, а саме обернено пропорційна її абсолютній діелектричній проникності е., -*;£()■

Для зручності розрахунку електростатичного поля введено штучну ве­личину, яка не залежить від властивостей середовища поширення поля і має назву електричного зміщення, Кл/м²:

О - *;г.₍₎ Е.

В анізотропному середовищі вектори /) та Е можуть не збігатися за напрямком. Відбувається цс внаслідок впливу діелектричної проникності середовища, щось у вигляді кута втрат, зумовленого середовищем. У цьо­му разі діелектричну проникність середовища виражають як тензор.

Якщо електричне поле є сукупністю точкових зарядів, то спільна на­пруженість поля у будь-якій точці, В/м,

Е = Еі+Е₂+--- + Еп=_Т1~-І₁ 1И

Взагалі електростатичне поле може збуджувати нерухомі об'ємні, по­верхневі або лінійні заряди. Справедливе і зворотне твердження про те, що розподілені заряди визначаються напруженістю поля, яка становитиме: * для об'ємної густини заряду

сі Е₀ =

4л:єє₀Гр ^р 4тгсє₀г_р ^р • для поверхневої густини заряду

,_Р _ 7 „ (УСІЯ Т .

® для лінійної густини заряду

ІР Т _ ТСІІ т

4тг£Є₀г_т 4тгєє₀г_т

Сумарна напруженість поля зарядів дорівнює геометричній сумі век­торів Е_р по об'єму К Я а по поверхні 5 і Е_х вздовж лінії/, тобто

Е = Ер + £ст + Е_х.

13.8. ЕЛЕКТРИЧНИЙПОТЕНЦІАЛ

За властивостями електростатичне поле невихрове, тобто його тоХ Е = 0, але можна знайти таку скалярну величину ф, градієнт якої з від'ємним знаком дорівнюватиме вектору напруженості:

gradф = Е.

Оскільки приріст потенціалу між двома нескінченно близькими точ­ками поля визначається як скр^—іліі, то потенціал точки поля, В,

ф---|^//,

М'- іо, ₂ - -]() г^йг~ 4тші₍/

4піх_{)ґ 4тгьь₍₎/* о

Отже, знаючи потенціал ф, можна визначити вектор напруженості створеного ним електричного поля

13.9. ГРАФІЧНЕ ЗОБРАЖЕННЯ СТАТИЧНОГО ЕЛЕКТРИЧНОГО ПОЛЯ

Статичне слектрич не поле зображають за допомогою еквіпотенціальних поверхонь і ліній вектора поля. Еквіпотенціальні поверхні визначаються рівнянням ф - consL Наносять поверхпітак, щоб різниця потенціалів між ними (рис. 13.10) була постійною, тобто щоб потенціали становили:

ф,, ф₂ =Фі +Аф, Фз =ф₂ +Аф = Фі +2Аф,....

Крім еквіпотенціальних поверхонь ф^ const наносять лінії вектора на­пруженості електричного поля Е, тобто такі криві, в кожній точці яких напрямок вектора напруженості електричного поля збігається з дотичною до них. Лінії вектора напруженості електричного поля Е мають бути пер­пендикулярними до еквіпотенціальних поверхонь.

Узагальнено диференціальні рівняння ліній вектора напруженості елек­тричного поля мають вигляд векторного добутку (ротора)

Рис. 13.10

Рис. 13.11

де сіС — елемент лінії вектора. У прямокутній системі координат добуток розпадається на три рівняння:

Е,Ж - Еліу = 0; Е сіу- Е_хск =0; Е_хсіу-Е_усІх ~ 0.

Зображують лінії так. Еквіпотенціальну поверхню ділять на прямокут­ники таким чином, щоб потоки вектора поля крізь них були однаковими за значенням. Після цього на поверхню наносять одну лінію вектора на­пруженості Е у центральному прямокутнику поверхні.

13.10. ІНТЕГРАЛЬНА ФОРМА ТЕОРЕМИ ҐАУССА

Потік вектора електричного зміщення />, який пронизує замкнену поверхню 27, дорівнює алгебричній сумі вільних зарядів 0, розміщених в об'ємі, обмеженому цією поверхнею:

о

Доведемо цю теорему на прикладі заряду одного знака +0.

Нехай обмежену кількість зарядів одного знака розміщено в об'ємі, обмеженому поверхнею 5 (рис. 13.11). Електричне зміщення, зумовлене внутрішнім зарядом, становить, Кл/м²,

а потік, створений цим зарядом і поширений через елементарну поверхню у певному напрямку,

⁵ О - -ф = ф-5^-1_Г <АУ.

О 4тіг і — — сіБ _г

Складову потоку -^-\_гс/Б = ~^-=^ііО, називають просторовим кутом.

Просторовий кут, під яким видно усю поверхню об'єму, становить 4 ті сте­радіан. Отже, потік вектора електричного зміщення £>, який пронизує замкнену поверхню Л¹, визначають так:

Оскільки електричне зміщення пов'язане з напруженістю електричного поля виразом Т) - с_а її, то, підставивши його в отриманий вираз, матиме­мо потік вектора напруженості електричного поля, який виходить з об'є­му, обмеженого поверхнею Л':

о

або

У

О '¹

ІЗ.11. ДИФЕРЕНЦІАЛЬНА ФОРМА ТЕОРЕМИ ҐАУССА

Згідно з визначенням дивергенції

j>DdS

- , ⁰ divZ) = lim ———,

v->i) V

де §DdS = d<f> — потік електричного поля через замкнену поверхню, о

Відповідно до теореми Остроградського про те, що інтеграл дивергенції вектора, який взято за об'ємом, можна замінити інтегралом самого векто­ра, взятим за поверхнею, що охоплює цей об'єм, отримаємо

s V

§DdS = ldivDdV.

О О

Нехай електричний заряд розподілено в об'ємі V з об'ємною густи-

V

ною р. У цьому разі заряд в об'ємі становить 0= \pclV. Оскільки за тео­ремою Гаусса в інтегральній формі ⁰

0

то отримаємо рівність

V V

\ шуШК = \ptiV,

о о

звідки „

сііуї? = р.

Фізичний зміст рівняння у тому, що джерела електричного поля бува­ють лише в тих місцях, де є електричні заряди. Оскільки електричне змі­щення і напруженість електричного поля співвідносяться ЯК В = £._ЛЕ, можна за писати

<ііу£ = р/є_г1.