
- •1.1. Елементи електричних кіл та електричних схем
- •1.2. Схеми електричних кіл
- •1.3. Прості лінійні електричні кола та основні співвідношення в них
- •1.6. Режими роботи електричного кола
- •2.2. Перетворення зірки резисторів
- •5.2. Рівняння чотириполюсника
- •5.3. Постійні чотириполюсника
- •6.18. Повітряни й трансформатор
- •8.3. З'єднання джерела живлення
- •8.8. Потужність трифазної системи
- •10.3. Зарядний струм конденсатора
- •10.4. Енергія електричного поля
- •11.15. Розрахунок магнітного кола
- •11.17. Робота електромагнітних сил
- •13.2.ДИазЕренціаяьний оператор
- •13.12. Рівняння пуассона і лапласа
- •13.18.7. Безперервність повного струму
- •13.28.Теорема умова-пойнтінга
13.2.ДИазЕренціаяьний оператор
Визначення градієнта — це математична процедура складного диференціювання скалярного потенціалу по осях відповідної координатної системи. Щоб виконати цю операцію, застосовують символ V — набла, який має назву диференціального оператора. Формально цей символ, наприклад у прямокутній системі, є вектором:
ох су оі
Щоб визначити градієнт скалярної величини, її потрібно помножити на вектор V —- набла. Результатом буде векторна величина.
13.3.ДИВЕРГЕНЦІЯ ВЕКТОРНОЇ ВЕЛИЧИНИ
Векторне поле, на відміну від скалярного, не має градієнта, оскільки добуток двох векторів одного напрямку дорівнює нулю:
ЕХТ] = Exis\n(E~i )= £x/sinO° - 0.
Щоб подати векторне поле у вигляді математичного виразу, вводять скалярну величину - дивергенцію, або розбіжність, вектора. Визначення дивергенції є операцією диференціювання векторної величини вздовж
осей координат. u
Розглянемо у просторі об'єм Г (рис. 13.4), обмежений поверхнею о. Нескінченно малу елементарну площину AS на його поверхні можна вважати плоскою і позначити вектором dS, перпендикулярним до площини AS Позитивний напрямок вектора dS визначається за правилом Гвинта при обході елементарної площини AS проти часової стрілки. Нехай розглядуваний об'єм перебуває в полі вектора Е. Можна вважати, що із межах малої елементарній площини AS = AxAy вектор Е = const. Скалярний добуток EdS = EdScos(EdS ) назиткт> елементарним потоком вектора Е
через площину dS.
Повний потік вектора Е, який виходитиме з об'єму Гчерсз усю поверхню о\ визначиться сумою елементарних потоків або інтегралом по всій поверхні об'єму:
j>EdS. о
f{;
EdS
S
V
div£' = lim
Д
Розглянемо елементарний об'єм dV ~ dxdydz. Розкладемо вектор напруженості електричного поля заряду Е на складові Ех, Еу, Ег по осях. В межах малого об'єму ОТ можна вважати, що потік вектора напруженості поля змінюється за значенням, тобто в ліву площину
виходить
■ах
б'єму
входить
потік
Ч>
xl
=
Evdydz,
а
х
дх
J
dydz. От-
V
ÖE
■dV.
дЕ
а" 2
ox
ОХ
Vxl =^dxdydz
Аналогічно прирости потоків вектора напруженості в разі проходження їх крізь об'єм вздовж осей у та і'-
^2-^1=
дЕ.
■dV.
Підсумовуючи прирости потоків вздовж усіх осей та ділячи їх на елементарний об'єм, отримаємо дивергенцію вектора напруженості електричного поля в системі прямокутних координат:
&l"Ed'S дЕ\. dEv дЕ7 к->о V дх dy oz
Праву частину цього виразу можна розглядати як скалярний добуток вектора V= ^ і + ^ 7+ -? £ і вектора Е = Е Т + Ey j + Ezk. Слід зазначити, дх ду' dz
що при скалярному перемноженні векторів отримаємо / ■/ = tfcosO° = l; / -у =/ycos90° = 0. При векторному перемноженні відповідно [і ■/"] = - ііsin 0° = 0, [/ • 7] = у sin 90° = 1 • к. Звідси
div£ = V£.
Слід також пам'ятати, що символ V, застосований до скалярної величини, означає визначення її градієнта. Застосований же до векторної величини, він означає її дивергенцію.
13.4. РОТОР ВЕКТОРНОЇ ВЕЛИЧИНИ
Друга після дивергенції характеристика векторного поля-ротор. Визначення векторної величини — ротора - цс також операція диференціювання за координатами. Наприклад, умовне русло річки наведено на рис 13 6 Якшо річка тече без тертя об береги та дно (рис. ІЗ.б, а), то швидкість її течії однакова. Поле швидкості однорідне і вихрових потоків немає Якщо нехтувати тертям об воду, то робота, витрачена на переміщення об'єкта вздовж шляху т, /?, р, а, /», дорівнює нулю. Математично цс записують так:
j> ТкЇЇ ■= 0, о
тобто циркуляція вектора сили 1 вздовж замкненого контуру / в безвих-ровому полі дорівнює нулю.
Якщо враховувати складний профіль річки (рис. 13.6, 0), то в окремих місцяхтечія води матиме вихровий характер. У цьому разі циркуляція вектора сили /'' вздовж замкненого контуру /»,, //,, Р\ ■, <7і, Щ недорівшова-тиме нулю. Такого виду поля мають назву вихрових. Контур циркуляції може лежати під будь-яким кутом до площини координат. Зменшивши розмір контуру циркуляції до незначних розмірів, можна вважати його плоским.
Відобразимо проекцію поверхні циркуляції вектора В па площину координат (у, z) і зменшимо розмір контуру циркуляції до незначних розмірів, тоді
Піп J " (roltf) ,
або межа підношення отриманої циркуляції вектора В до розміру площини Л\., обмеженої допоміжним контуром циркуляції /, при ЛЛ. ->0 має і ул ту складової ротора вектора В вздовж координатної осі, перпендикулярної до площини координат (у, z), па якій лежить площина Sx . Знак ротора визначають за правилом Гвинта, який має обертатися в напрямку обходу контуру а поступовий рух покаже напрямок ротора величини.
Помножуючи кожну складову ротора на одиничний вектор прямокут- ної системи координат і геометрично складаючи їх, отримаємо вектор ротора поля _ у — -
юіВ= lim Щ, / + hm ^ J + }imn—4 k-
У сумі кожна циркуляція §'QBdT - скалярна величина. Більше того, вони різняться між собою, оскільки контури інтегрування обмежують різні площини, а саме Sx, Sy, -Я.

а
т
Тч5* ЇЖ"
Виведемо вираз ротора вектора у прямокутній системі координат, тобто розрахуємо роботу, яку виконує вектор поля В під час обходу по нескінченно малому замкненому контуру.
Припустимо, що контур розміщено у
просторі і його проекції , АаУ , Л5гд відомі (рис. 13.7). Кожній проекції об'єму на одну із площин системи координат відповідатиме складова ротора вектора, яка збігається за напрямком з віссю, перпендикулярною до цієї площини.
Розглянемо нескінченно малий контур а, Ь, с, сі, а на площині (х, у). Нехай проекція просторового вектора В всередині цього контуру дорівнює Вху, а його складові Вх, Ву паралельні осям х, у.
Середні значення сил, зумовлених вектором ВХу, що діють на сторонах прямокутного контуру (рис. 13.8), становлять:
на стороні (а,Ь)- Вх;
на стороні (Ь,с)-Ву+ ^ сіх;
на стороні (сі, с)-Вх +----~ау; на стороні (а,сІ)~Ву.
У цьому разі циркуляція просторового вектора В вздовж контуру а, Ь, с, сі, а відбувається так, щоб (гої #) був додатним, тобто збігався з напрямком осі (г). Тоді
ВхсІх +
ву +
дх
■СІХ
сіу
Вх+^-сіу
І х ду )
сіх-ВусІу =
V
дх ду
сіхеїу.
Звідси складова ротора просторового вектора В вздовж осі г у прямокутній системі координат
(rot 4
дВу дВх
дх
Так само визначають складові ротора просторового вектора В вздовж осей хтлу. У загальному вигляді робота сил поля в об'ємі становить
V
rot В = /"
f0Bz дВу
д.
dz
:- \ + к
Ох
дВ,
дх ду
або
ml В-4 V В
де прямокутні дужки означаю ть векторний добуток.
Якщо поле не є вихровим, то rot 5 = 0. Дійсно, якщо виразити напруженість електричного поля Д' через потенціал як
дхду' dz
dydz
і так далі, то отримаємо
rot--rolgrackp = 0.
І
Ієн
запис
доводить,
що
потепц
воно не має ротора. Більше того, якщо поле мас ротор вектора, то його дивергенція іііу Е = 0.
13.5. ЕЛЕКТРОСТАТИЧНЕ ПОЛЕ
Таке поле утворюється нерухомими зарядами і в чистому вигляді не існує оскільки електрони, позитивні заряди, позитрони перебувають у безперервному русі. Однак якщо їх спостерігати на такій відстані, з якої переміщенням електрона в межах атома можна знехтувати, то спостерігачу який також переміщується у просторі разом із зарядом, вони здаються практично нерухомими. Окремі електричні заряди завжди охоплені електричним полем — особливим станом матерії, що рухається.
Електричні заряди, які спроможні рухатися, перебуваючи під дією зовнішнього електричного поля, називають вільними зарядами. Вони вважаються носіями струму у провідниках - струму провідності. ^
Заряди які належать нейтральним молекулам діелектриків або є нонами закріпленими у твердих діелектриках поблизу певних рівнів рівноваги 'нхтшють зв'язаними зарядами. Під впливом зовнішнього електричного
поля вони можуть зміщуватися на невеликі відстані від власного фіксованого положення. Таке невелике переміщення їх у діелектрику має назву струму їіоиної поляризації.
Завдяки струму поляризації пояснюється процес встановлення електричного поля в діелектрику конденсатора. Припустимо, що заряду на обкладках конденсатора не було. Під час руху окремих зарядів у провіднику від джерела живлення одна із пластин конденсатора збагачується негативними зарядами — електронами. Діелектрик конденсатора опиниться в зоні дії їхнього електричного поля. Його зв'язані заряди зазнають незначного зміщення, а саме їхні позитивні заряди будуть спрямовуватись у напрямку мінусової пластини конденсатора. У свою чергу, вони своїми негативно зарядженими кінцями наведуть позитивні заряди на іншій пластині конденсатора. Отже, під час зарядження конденсатора начебто є спільний рух зарядів по замкненому електричному колу, складеному з провідників, які несуть струм провідності, й діелектрика, в якому тече струм поляризації. Як тільки конденсатор зарядиться, течія обох струмів завершиться. Фізична картина зарядження, розрядження конденсатора зберігає свій характер і тоді, коли немає діелектрика між його пластинами, наприклад у вакуумі.
Узагальнюючи той факт, що в разі зм імення електричного поля у часі й просторі, здійснюється процес, подібний до зміщення зарядів у діелектрику, який поляризується, Дж. Максвелл назвав його електричним зміщенням. Поява цього процесу супроводжується виникненням магнітного поля. Так виникла уя ва про струм зміщення у так званому ідеальному діелектрику, який не містить ніяких часточок відомих матеріалів. Звичайні технічні діелектрики, хоча і слабкою мірою, характеризуються одночасною наявністю струму зміщення і струму провідності.
13.6. ЕЛЕКТРИЧНИЙ ЗАРЯД
Заряджені тіла містять багато елементарних частинок, які рухаються, але можна вважати загальний заряд тіла нерухомим і розподіленим неперервно. Електричні заряди можна вважати такими, які нескінченно діляться, і використовувати поняття густини заряду. Для заряду, розподіленому в просторі, розглядають:
об'ємну густину заряду р = де заряд в об'ємі д - ^рсІУ;
сіц . гЗ /с
поверхневу густину заряду а = де заряд на поверхні д = \0 сгоЛ;
лінійну густину заряду т = ~^» Де заряд вздовж лінії д = ^хсІІ,
Якщо розміри зарядженого тіла незначні порівняно з відстанню від нього до точок, в яких розглядають електричне поле, то заряд такого тіла називають точковим. Густина точкового заряду дорівнює нескінченності.
+р г +ч р Два точкових заряди одного знака «2 і а) від-
даі—їв- 9 . 1,0-4 11а гГІ.рп_
\? штовхуються у вакуумі силою £ =к—~. Це гвер
г
Рис. п.9 дження називають законом Кулона. Коефіцієнт
пропорційності к залежить від вибору системи одиниць для сили. Справедливість закону Кулона встановлено для точкових зарядів В ізотропному середовищі, властивості якого однакові у будь-якому напрямку, сила відштовхування зарядів менша на значення відносної діелектричної проникності середовища:
Ь -к—г-. єг
Напрямок дії вектора сили Р збігається з прямою, що сполучає заряджені тіла (рис. 13.9).
У векторній формі сила взаємодії має вигляд
Г = Л* І,.
лс 1 - одиничний век тор, спрямований від точки із зарядом Є до точки із зарядом д. У Міжнародній системі одиниць (СІ) коефіцієнт пропорційності Л-і/(4та:0), де діелектрична проникність вакууму і:0 *
«8,856-10"12 Ф/м.
Остаточпосила взаємодіїточкових зарядів, розміщених в ізотропному середовищі з властивостями, які відрізняються від властивостей вакууму, становить, Н,
/• , ^ і .
1 9 V
13.7. НАПРУЖЕНІСТЬ ЕЛЕКТРОСТАТИЧНОГО ПОЛЯ
Електричний заряд завжди пов'язаний з електромагнітним полем. Якщо заряд нерухомий, то його електричне поле статичне. Щоб описати електростатичне поле, застосовують векторну величину - силу. Чим менший заряд д, тим менша сила Р, що діє на нього, однак їх відношення -скінченна величина: _
1= Ііт—.
і/->о д
Межу відношення сили ^, що діє на пробний електричний заряд, до цього заряду д, який наближається до нуля, називають напруженістю елек
тричного поля. Отже, для точкового заряду
л 2 '"
Одиниця напруженості електричного поля — вольт на метр (В/м).
Напруженість визначається силою взаємодії зарядів, але сама вона не є силою, оскільки сила проявляє себе за наявності двох або більшої кількості зарядів і, крім того, напруженість заряду ніколи на дорівнює нулю. Тому електростатичне поле можна розглядати як векторне поле напруженості К, яка залежить від властивостей середовища, а саме обернено пропорційна її абсолютній діелектричній проникності е., -*;£()■
Для зручності розрахунку електростатичного поля введено штучну величину, яка не залежить від властивостей середовища поширення поля і має назву електричного зміщення, Кл/м2:
О - *;г.() Е.
В анізотропному середовищі вектори /) та Е можуть не збігатися за напрямком. Відбувається цс внаслідок впливу діелектричної проникності середовища, щось у вигляді кута втрат, зумовленого середовищем. У цьому разі діелектричну проникність середовища виражають як тензор.
Якщо електричне поле є сукупністю точкових зарядів, то спільна напруженість поля у будь-якій точці, В/м,
Е = Еі+Е2+--- + Еп=Т1~-І1 1И
Взагалі електростатичне поле може збуджувати нерухомі об'ємні, поверхневі або лінійні заряди. Справедливе і зворотне твердження про те, що розподілені заряди визначаються напруженістю поля, яка становитиме: * для об'ємної густини заряду
сі Е0 =
4л:єє0Гр р 4тгсє0гр р • для поверхневої густини заряду
,Р _ 7 „ (УСІЯ Т .
® для лінійної густини заряду
ІР Т _ ТСІІ т
4тг£Є0гт 4тгєє0гт
Сумарна напруженість поля зарядів дорівнює геометричній сумі векторів Ер по об'єму К Я а по поверхні 5 і Ех вздовж лінії/, тобто
Е = Ер + £ст + Ех.
13.8. ЕЛЕКТРИЧНИЙПОТЕНЦІАЛ
За властивостями електростатичне поле невихрове, тобто його тоХ Е = 0, але можна знайти таку скалярну величину ф, градієнт якої з від'ємним знаком дорівнюватиме вектору напруженості:
gradф = Е.
Оскільки приріст потенціалу між двома нескінченно близькими точками поля визначається як скр^—іліі, то потенціал точки поля, В,
ф---|^//,
М'- іо, 2 - -]() гйг~ 4тші(/
4піх{)ґ 4тгьь()/* о
Отже, знаючи потенціал ф, можна визначити вектор напруженості створеного ним електричного поля
13.9. ГРАФІЧНЕ ЗОБРАЖЕННЯ СТАТИЧНОГО ЕЛЕКТРИЧНОГО ПОЛЯ
Статичне слектрич не поле зображають за допомогою еквіпотенціальних поверхонь і ліній вектора поля. Еквіпотенціальні поверхні визначаються рівнянням ф - consL Наносять поверхпітак, щоб різниця потенціалів між ними (рис. 13.10) була постійною, тобто щоб потенціали становили:
ф,, ф2 =Фі +Аф, Фз =ф2 +Аф = Фі +2Аф,....
Крім еквіпотенціальних поверхонь ф^ const наносять лінії вектора напруженості електричного поля Е, тобто такі криві, в кожній точці яких напрямок вектора напруженості електричного поля збігається з дотичною до них. Лінії вектора напруженості електричного поля Е мають бути перпендикулярними до еквіпотенціальних поверхонь.
Узагальнено диференціальні рівняння ліній вектора напруженості електричного поля мають вигляд векторного добутку (ротора)
Рис. 13.10
Рис. 13.11
де сіС — елемент лінії вектора. У прямокутній системі координат добуток розпадається на три рівняння:
Е,Ж - Еліу = 0; Е сіу- Ехск =0; Ехсіу-ЕусІх ~ 0.
Зображують лінії так. Еквіпотенціальну поверхню ділять на прямокутники таким чином, щоб потоки вектора поля крізь них були однаковими за значенням. Після цього на поверхню наносять одну лінію вектора напруженості Е у центральному прямокутнику поверхні.
13.10. ІНТЕГРАЛЬНА ФОРМА ТЕОРЕМИ ҐАУССА
Потік вектора електричного зміщення />, який пронизує замкнену поверхню 27, дорівнює алгебричній сумі вільних зарядів 0, розміщених в об'ємі, обмеженому цією поверхнею:
о
Доведемо цю теорему на прикладі заряду одного знака +0.
Нехай обмежену кількість зарядів одного знака розміщено в об'ємі, обмеженому поверхнею 5 (рис. 13.11). Електричне зміщення, зумовлене внутрішнім зарядом, становить, Кл/м2,
а потік, створений цим зарядом і поширений через елементарну поверхню у певному напрямку,
5 О - -ф = ф-5^-1Г <АУ.
О 4тіг і — — сіБ г
Складову потоку -^-\гс/Б = ~^-=^ііО, називають просторовим кутом.
Просторовий кут, під яким видно усю поверхню об'єму, становить 4 ті стерадіан. Отже, потік вектора електричного зміщення £>, який пронизує замкнену поверхню Л1, визначають так:
Оскільки електричне зміщення пов'язане з напруженістю електричного поля виразом Т) - са її, то, підставивши його в отриманий вираз, матимемо потік вектора напруженості електричного поля, який виходить з об'єму, обмеженого поверхнею Л':
о
або
У
О '1
ІЗ.11. ДИФЕРЕНЦІАЛЬНА ФОРМА ТЕОРЕМИ ҐАУССА
Згідно з визначенням дивергенції
j>DdS
- , 0 divZ) = lim ———,
v->i) V
де §DdS = d<f> — потік електричного поля через замкнену поверхню, о
Відповідно до теореми Остроградського про те, що інтеграл дивергенції вектора, який взято за об'ємом, можна замінити інтегралом самого вектора, взятим за поверхнею, що охоплює цей об'єм, отримаємо
s V
§DdS = ldivDdV.
О О
Нехай електричний заряд розподілено в об'ємі V з об'ємною густи-
V
ною р. У цьому разі заряд в об'ємі становить 0= \pclV. Оскільки за теоремою Гаусса в інтегральній формі 0
0
то отримаємо рівність
V V
\ шуШК = \ptiV,
о о
звідки „
сііуї? = р.
Фізичний зміст рівняння у тому, що джерела електричного поля бувають лише в тих місцях, де є електричні заряди. Оскільки електричне зміщення і напруженість електричного поля співвідносяться ЯК В = £.ЛЕ, можна за писати
<ііу£ = р/єг1.