11.17. Робота електромагнітних сил

У будь-якому дроті, який є складовою частиною замкненого контуру, тече струм за умови, що дріт перетинає силові лінії магнітного поля. Як випливає з виразу А = В1$= /Ф, в разі переміщення контуру зі струмом сили магнітного поля здійснюють роботу над цим контуром лише за умо­ви, що змінюється густина магнітного потоку через контур. Цс відбувається або в разі неоднорідного магнітного поля, яке переміщується вздовж не­рухомого контуру зі струмом, або в разі руху контуру зі струмом в нерухо­мому неоднорідному магнітному полі.

Прямокутну рамку зі струмом /, розміщену в неоднорідному магніт­ному полі, наведено нарис. 11.28, а. За правилом «лівої руки» на контур зі струмом діють електромагнітні сили Р], Р₂, Р\, Р₄. В правій частині контуру густина магнітного поля більша, а зверху та знизу — однакова. У цьому разі при незмінному значенні струму в контурі отримаємо 7⁷і =7Ч, ~Рз >~Р\ ■ Отже, контур зі струмом під дією електромагнітної сили Рі зміститься вправо зі швидкістю г>>0 (рис. 1 ] .28, б), тобто сили електромагнітного поля виконують роботу

#*Л" — початкове значення магнітного потоку, який пронизує

А = А₁+А₃=-ІФ*₁+ /Фг = МФ,

де Ф,

контур зі струмом; Ф^ = В^Я — магнітний потік, який пронизує контур

о>0

о = 0

^{© в Є ©I© Є}

Р

в;

5

_{© © ©}

© © ©© ©

Ра

_{© © © ©}

Рз

—з /

наприкінці його руху; £ — поверхня контуру зі струмом; ЛФ = Ф₂-Ф* —

приріст магнітного потоку, зумовлений дією електромагнітних сил підчас

переміщення контуру зі струмом. Оскільки ?з >Т\, то приріст потоку ЛФ > 0.

Таким чином, підчас руху контуру зі струмом під дією електромагніт­ної сили поля магнітний потік, який пронизуватиме контур, завжди ма­тиме позитивний приріст, Більше того, будь-який контур зі струмом, роз­міщений у магнітному полі, під впливом сил взаємодії магнітного поля зі струмом займатиме такс положення відносно неоднорідного зовнішньо­го магнітного поля, при якому струм у контурі буде позитивним та макси­мальним, тобто власне магнітне поле контуру зі струмом зміщується в бік зовнішнього магнітного поля, з яким воно збігається за напрямком та під­силює його.

Якщо контур зі струмом розміщено па осі й він здатний обертатися на­вкруг неї, то, будучи розміщеним у неоднорідному магнітному полі без можливості переміщення горизонтально, він дістане обертальний момент, який поверне контур так, щоб він охоплював максимальний зовнішній потік. Цс фізичне явище покладено в основу принципу дії електричного двигуна.

Після досягнення контуром рівноважного стану відносно зовнішньо­го магнітного поля електромагнітні сили розтягуватимуть контур зі стру­мом у коло, розширюючи його площу Л", щоб надалі збільшити зовнішній магнітний потік, що пронизує його. Так виникають тангенціальні та ра­діальні зусилля, руйнуючи замкнений контур зі струмом.

Я кщо контур зі струмом переміщується проти дії електромагнітних сил зовнішньою магнітного поля, тобто приріст магнітного поля у контурі від'ємний (АФ<0), то створювана зовнішня механічна робота також від'ємна і створюється сторонніми силами, а не магнітним полем. Це фізичне явище покладено її основу принципу дії електричного генератора.

розділ | 9 електромагнітна , 1 ^ індукція

12.1 СИЛА, ЩО ДІЄ НА ЕЛЕКТРОН У МАГНІТНОМУ ПОЛІ

Силу, що діє на дріт зі струмом, розміщений в однорідному магнітно­му колі перпендикулярно до його ліній індукції, можна подати у вигляді суми сил, що діють на вільні електрони, рух яких, згідно з визначенням, зумовлює струм у дроті.

Сили, що діють на заряди, які рухаються у ₇/і

магнітному полі, мають назву електромагніт­них сил.

Силу струму / в дроті визначають як загаль-

\<р.

о

ну кількість електричного заряду 0, що про- ^ никає через переріз ^дроту в одиницю часу /, тобто

де 2 = и^Л7 — повний електричний заряд в усьому об'ємі дроту завдовжки /; п — концентрація вільних зарядів в одиниці об'єму дроту; = — серед­ня швидкість спрямованого руху електронів.

_{= і - Г = в<&.}

В об'ємі дроту К = Л7 кількість вільних електронів при концентрації вільних зарядів и дорівнює ЛГ=л5/. Звідси електромагнітна сила, що діє на вільний заряд (рис. 12.1),

р ВщЗьІ N ~ п8і

Отже, електромагнітна сила, що діє на вільний заряд, пропорційна індукції магнітного поля та середній швидкості руху вільних електронів. Напрямокдії електромагнітної сили визначається за правилом «лівоїруки».

Слід пам'ятати, що умовно рух струму в електричному колі здійснюєть­ся в напрямку від позитивного потенціалу дроту до негативного, тому витягнуті пальці лівої руки при визначенні напрямку дії сили треба спря­мувати проти напрямку руху вільних електронів.

12.2. ЕЛЕКТРОРУШІЙНА СИЛА ЕЛЕКТРОМАГНІТНОЇ ІНДУКЦІЇ

Явище збудження електрорушійної сили в дроті, що рухається впопе­рек силових ліній магнітного поля, називають законом електромагнітної індукції. Розглянемо фізику процесу. Дріт, активна частина довжини яко­го і рухається під дією зовнішньої сили впоперек силових ліній зовніш­нього магнітного поля індукції В зі швидкістю V, зображено нарис. 12.2.

З такою самою швидкістю г; у дроті рухаються електрони. Згідно з пра­вилом «лівої руки» на вільні електрони діє електромагнітна сила /ч), яка переміщує їх на вільний кінець дроту. На іншому кінці дроту створюється залишковий позитивний заряд. Отже, в міру розподілу зарядів у дроті збільшується напруженість електричного поля Е = Р/д. Сила Кулона Т⁷, або сила електричного поля, діє на кожний вільний заряд і спрямована про­тилежно до електромагнітної сили . _

При досягненні рівноваги цих сили [Ео = 7^і] перерозподіл зарядів в об'ємі дроту завершиться. Оскільки електромагнітна сила, що діє назаряд,

^0 = Вдю,

т о напруженість електричного поля заряду

д д д

Розподіл зарядів, який виникає під дією електромагнітної сили, можна розглядати як результат дії електрорушійної сили електро­магнітної індукції.

Якщо до дроту не приєднано навантаження, то електрорушійна сила електромагнітної індукції дорівнюватиме напрузі на його кіпцях, тобто

Відомо, що падіння напруги на ділянці електричного кола пропорцій­не роботі, витраченій сторонніми силами па переміщення електричних зарядів з однієї точки кола до іншої, і обернено пропорційне заряду, який переміщується,

ч Я

У цьому разі отримаємо вираз для електрорушійної сили електромаг­нітної індукції у вигляді

Е = Вї)С

Напрямок дії ЕРС електромагнітної індукції визначають за правилом «правої руки».

У більш загальному випадку ЕРС електромагнітної індукції визнача­ють зарівнянням

Е =■■ Вь?ьт{гГву

Якщо дріт, що переміщується впоперек ліній магнітної індукції в маг­нітному полі під дією зовнішньої сили, замкнено на навантаження, за­гальний опір якого 2>, то за законом Ома для електричного кола в ньому потече та встановиться електричний струм

напрямок якого збігатиметься з напрямком дії електрорушійної сили елек­тромагнітної індукції.

12.3. ПЕРЕТВОРЕННЯ МЕХАНІЧНОЇ ЕНЕРГІЇ НА ЕЛЕКТРИЧНУ

Магнітне поле, створене постійним магнітом, силові лінії якого зазви­чай спрямовані з північного полюса магніту до південного, наведено на рис. 12.3. Вважаємо, що магнітне поле між полюсами однорідне (/?= const) і витискання силових ліній поля за межі полюсів немає. Розмістимо в цьому

м агнітному полі перпендикулярно до вектора його індукції В прямолі- нійний дріт завдовжки (?, який ру- хається під впливом сили зовнішньої механічної потужності в маг-

нітному полі зі швидкістю V. Якщо дріт замкнено на навантаження НЕ, то на активній частині дроту <?, яка рухається в магнітному полі впопе­рек його силових ліній, наводиться електрорушійна сила е -■ Вь? і в на­прямку її дії тече струм /.

Відомо, що електромагнітна сила, яка виникне і буде діяти на дріт зі струмом, що рухається впоперек сило­вих ліній магнітного поля, становить

е^ВП.

Напрямок дії електромагнітної сили визначається за правилом «лівої руки». Як видно з рис. 12.3, ця сила є гальмівною до зовнішньої механіч­ної сили, оскільки спрямована протилежно до вектора швидкості і).

Таким чином, рух дроту виникає під дією зовнішньої потужності />_мех, сила якої зрівноважується протилежно спрямованою до неї електромагніт­ною силою //гальмівного характеру.

Механічна потужність зовнішньої сили, затраченої на рух дроту у маг­нітному полі,

тобто дорівнює потужності електричного струму у замкненому електрич­ному колі. Електромагнітні пристрої, в основу дії яких покладено цей принцип, називають генераторами.

12.4. ЕЛЕКТРИЧНІ ГЕНЕРАТОРИ

Електромагнітний пристрій — генератор постійного струму наведено на рис. 12.4. Він має феромагнітний індуктор, полюси з обмоткою збу­дження постійного магнітного поля індукції В_т , якір з укладеною обмот­кою, який обертається під дією зовнішньої сили у магнітному полі, збу­дженому нерухомими полюсами, перетинаючи його з незмінною кутовою частотою со ~ const.

Оскільки магнітне поле збудження нерівномірно розподілене під полю­сом внаслідок ефекту бокового розпирання його силових ліній, то магніт­ну індукцію, що збігається з віссю полюсів, позначимо як В_т і назвемо амплітудою індукції, а ту, що не збігається і в будь-якому іншому місці — В. Зазвичай, щоб отримати синусну ЕРС, наведену в обмотці якоря, форму

е - 2е' -= 2 f-vB_m sin a - е_т sin a.

Якщо загальна кількість витків у котушці якоря w, то амплітудне зна­чення наведеної електрорушійної сили е_т =w-2CvB_m. Часова діаграма миттєвого значення індукованої ЕРС наведена на рис. 12.5.

На часовій діаграмі прийнято позначення: Т— проміжок часу, впро­довж якого періодична електрорушійна сила здійснює повний цикл пере­творення (Тназшійють періодом, с); / 1/Т — частота змінної електрору­шійної сили, Гц ~ 1/с; о) = 2к/Т - 2nf — кутова частота, рад/с.

12.5. ПЕРЕТВОРЕННЯ ЕЛЕКТРИЧНОЇ ЕНЕРГІЇ НА МЕХАНІЧНУ

Нехай прямолінійна ділянка дроту завдовжки ('. замкнена на джерело електрорушійної сили епостійного струму з внутрішнім опором Rq і пе­ребуває в однорідному магнітному полі постійного магніту з індукцією В (рис. 12.6). В напрямку дії ЕРС джерела живлення у замкненому дроті тече струм /.

Відомо, що на ділянку дроту зі струмом, що перебуває в магнітному полі, діє електромагнітна сила

Е ^ви,

Е,

зустр

яка спричинить його рух зі швидкіс­тю о в напрямку, що визначається за правилом «лівої руки». Оскільки ділянка дроту рухається в магнітно­му полі, в ній буде наводитися ЕРС електромагнітної індукції, спря >>а-на назустріч струму від джерел а жив­лення, тобто

= ВН\

зустр

Згідно з другим правилом Кірхго-фа рівняння електричної рівноваги у замкненому колі

Е-Е,

Розглянемо точки А і Б в контурі зі струмом, наведеному на рис. 12.6. З одного боку, напруга між ними дорівнює напрузі джерела живлення и_АВ = /і-//?₀, з другого — падінню напруги у зовнішньому колі наванта­ження II_АВ =//?+£' Помноживши останню рівність на струм, діста-

чустр •

немо іи_АБ ^ҐВ + ІЕ

3 урахуванням того, що Е = Вії), рівняння балансу потужностей

де Р_)у — потужність джерела живлення, віддана у зовнішнє коло; Р_тси — потужність, перетворена на теплоту па ділянці дроту кола навантаження; Еі) — механічна потужність, яка переміщує дріт зі струмом, виштовхую­чи його з-під дії магнітного поля.

Таким чином, під час руху дроту зі струмом у магнітному полі під дією сил поля електрична енергія джерела живлення перетворюється на тепло­ву та механічну.

Як видно з рівняння потужностей, якщо ЕРС електромагнітної індукції ^зустр ⁼0> тобто дріт ще не зрушився (и = 0) або не може рухатися внаслі­док дії сили зовнішнього опору його руху, то струм у замкненому колі буде максимальним :

І

пуск

і має назву пускового струму.

Як тільки дріт зі струмом почав рухатись і під дією електромагнітної сили його швидкість досягла номінального значення (а~а_н), ЕРСелек-тромагнітної індукції значно зростає (Е^ » 0), струм у замкненому

колі значно зменшується:

Л,=(^-я₃^ф)/^л

і має назву номінального струму.

Для того щоб обмежити значне зростання струму під час пуску перетво­рювача електричної енергії па механічну послідовно у замкнений контур вмикають додатковий пусковий елемент з опором #_п .„..,, який після на­брання дротом 70 % номінальної швидкості коротко замикають, щоб за­побігти додатковим втратам потужності від джерела живлення під час роботи перетворювача.

12.6. ЕЛЕКТРОРУШІЙНА СИЛА ЕЛЕКТРОМАГНІТНОЇ ІНДУКЦІЇ В КОНТУРІ

>^=^-. Наведене в ньому миттєве значення

СІІ

Розглянемо спочатку окремий прямолінійний дріт, який рухається під дією зовнішньої сили в однорідному магнітному полі перпендикулярно до вектора магнітної індукції (рис. 12.7). Якщо за час сИв'т пройде відстань

сіЬ, то його швидкість буде г електрорушійної сили

„с]Ь

є-. Віс г-Нс

де МЬ-іШ поверхня, яку покриває прямолінійний дріт під час руху; /МУ гіФ — частка магнітного потоку, перетнута дротом під час його руху, її цьому разі електрорушійна сила електромагнітної індукції

е -

СІФ

(І і "

сіф_}

Електрорушійну силу електромагнітної індукції, наведену в замкнено­му контурі під час руху дроту в неоднорідному магнітному полі зі швид­кістю т>- ^ (рис. 12.8), визначимо, виходячи з таких міркувань. За час сіі ліва сторона контуру завдяки руху на відстань сІЬ отримує приріст магніт­ного потоку сіФу відносно правої сторо­ни контуру, яка втратить частину магніт­ного потоку сІФ₂. Причому сІФ₂ КСІФу за умовою неоднорідності магнітного по­ля. Тому на кожній стороні одного кон­туру за правилом «правої руки» наво­дяться електрорушійні сили відповідно

сІФ_:

Рис. 12.8

Рис. 12.9

ріст магнітного потоку

СІФ=£ІФ_{ -СІФ₂

Напрямок дії наведених ЕРС зустрічний, але з додатним напрямком їх пов'язують додатний напрямок дії магнітного потоку, який визначається за правилом Гвинта. Тобто, якщо Гвинт обертати таким чином, щоб його хід здійснювався у напрямку дії магнітного поля, то обертання «ручки» Гвинта вкаже на додатний напрямок дії наведеної у дроті електрорушій­ної сили. Отже, електрорушійна сила е_{ — від'ємна, е₂ — додатна. Сумар­на ЕРС, наведена в замкненому контурі,

сіФ₂ сІФ_{ сІФ_ї~сІФ₂

dt dt dt dt

З рівняння випливає, що ЕРС виникає як у нерухомому контурі при змінному в часі магнітному потоці крізь нього, так і в контурі, який ру­хається впоперек нерухомого магнітного потоку.

Знак (напрямок) наведеної ЕРС залежить від знака приростання магніт­ного потоку. Так, якщо ^ > 0, то е < 0. J навпаки, якщо ^^(1> < 0, то е > 0.

elf clt

Замкнені нерухомі провідникові контури, які пронизуються змінним у часі магнітним потоком, наведено на рис. 12.9, де а — магнітне поле стру­му протидіє зростанню зовнішнього магнітного поля; б — магнітне поле струму підтримує спадне зовнішнє магнітне поле.

Наведені електрорушійною силою струми / в замкнених контурах бу­дуть завжди спрямованими так, щоб їхнє власне магнітне поле протидія­ло зміненню основного магнітного потоку через замкнені провідникові контури.

12.7. ПОТОКОЗЧЕПЛЕННЯ

Уздовж осі нерухомої котушки індуктивності (рис. 12.10) рухається постійний магніт, охоплений власним магнітним полем. Переміщення постійного магніту з магнітним полем змінює густину частини цього маг­нітного потоку, зчепленої з витками котушки, і наводить у них ЕРС елек­

т ромагнітної індукції. У кожному витку наводиться ЕРС, пропорційна тій час­тині магнітного поля магніту, яка його охоплює. Результуюча електрорушійна сила у котушці складатиметься як алгеб­рична сума електрорушійних сил, наве­дених зовнішнім магнітним полем у кожному витку, тобто

Є - <?] + <?2 ⁺'

А

СІІ

(ф₁ -4- Ф₉ + --- + Ф_к)=­

ш ¹

ком, тобто Ф [ = Ф

п

■\-ф.

де Ч?

ф| +Ф₂ +

отокозчеплення зовнішнього магнітного поля. Якщо кожний виток котушки охоплено однаковим магнітним пото-₂ - • - • = Ф_к, то ЕРС, наведена у котушці,

сіі '

СІФ

е = -и>

де и¹ — загальна кількість витків у котушці, потокозчеплення якої ЧК = п'Ф.

12.8. ІНДУКТИВНІСТЬ

Розглянемо замкнений контур /с електричного кола зі струмом /. Кон­тур пронизує наведеним власним магнітним потоком Ф (рис. 12.11).

Якщо магнітна проникність середовища па шляху магнітного потоку незмінна (р^сої^і), то магнітний потік прямо пропорційний струму, який його збуджує, тобто Ф ~ / . Більше того, потокозчеплення витка зі струмом Ч^ = Ф = ^ЛФ,, де АФ, — елементарна трубка магнітного потоку вздовждовжини середньої магнітної силової лінії (',.

Осердя у вигляді тороїда, на якому розміщено котушку із загальною кількістю витків и>та зі струмом /від зовнішнього джерела живлення, на­ведено нарис. 12.12. Можна вважати, що кожний виток котушки має влас-

я б Рис. 12.13

ний магнітний потік Ф _і, де / = 1, ... , и\ зчеплений лише з цим витком. Алгеб- ричну суму магнітних потоків Ф_;., які пронизують витки котушки і зумовлені дією струму, що тече в ній самій, нази- вають потокозчепленням самоіндукції і по- Рис. 12.14 значаютьсимволом Чг^ .

Якщо за силою струм у витках незмінний, то потокозчеплення само­індукції залежить від геометричних розмірів котушки, кількості витків її та зовнішнього контуру. Отже, для будь-яких котушок коефіцієнт пропор­ційності між потокозчепленням самоіндукції 4^у ^ та струмом /, який його зумовив, — змінна величина. Однак у конкретному електричному колі він є постійною величиною, яка має назву індуктивності та визначається як

Одиниця індуктивності ^_д^с = Гп.

індуктивність характеризує особливість самої котушки, замкненого контуру і використовується при розрахунках потокозчеплення само­індукції Ч'| , магнітного потоку Ф або енергії Щ , накопиченої котуш­кою у вигляді особливої форми матерії, що рухається, - магнітного поля.

У схемах електричних кіл, якщо там відбувається накопичення енергії у вигляді магнітного поля, для її врахування вводять індуктивність котуш­ки у вигляді умовного позначення, як показано на рис. 12.13, де а — іде­альна котушка індуктивності; б— реальна котушка індуктивності з ураху­ванням власного активного опору.

12.9. ІНДУКТИВНІСТЬ КОТУШКИ

Осердя у вигляді тороїда, на якому розміщено котушку із загальною кількістю витків w та зі струмом зовнішнього джерела живлення /, наведе­но на рис. 12.14.

Щоб визначити індуктивність котушки, встановимо радіус середньої довжини тороїда R = (R_{ + R₂ )/2. Якщо R набагато більший за радіус вит­ка котушки, то можна вважати, що у перерізі осердя тороїда магнітна індук­ція і напруженість магнітного поля постійні, тобто В, 11= const, а тому індуктивність можна розраховувати вздовж довжини середньої лінії то­роїда.

Магнітний потік, збуджений котушкою індуктивності, замикається вздовж середньої лінії магнітопроводу і становить

Ф - .#.У - цц₀ -у ^ = \25\x~S ■ ІО"⁸ Вб.

Відповідно до нього потокозчеплення самоіндукції котушки, А,

а індуктивність котушки, Гн,

Ч> 2 2 2 ^і? А,, _ _т) _л = і25ц—Л ■ 10 = —у = у == >у ^,

125(15" ТО^-8

1 ? 1

де /ї = = ■ — опір середовища магнітному потоку.

^ц ^ 125цЛМ0~^{Ь Гн}

12.10. ЕШЕКТРОРУШІЙНА СИЛА САМОІНДУКЦІЇ

Зі зміпснпям струму в електричному колі змінюється потокозчеплен­ня самоіндукції 4^у ₁ ~ ІЛ в котушці індуктивності та з'являється ЕРС са­моіндукції.

Явище збудження електрорушійної сили в замкненому електричному коді внаслідок змінення його струму, атому і потокозчеплення цього кон­туру називають самоіндукцією.

Електрорушійну силу самоіндукції визначають як і будь-яку наведену електрорушійну силу, тобто

^ сіі сіі сії

Звідси випливає, що ЕРС самоіндукції прямо пропорційна індуктив­ності та швидкості змінення струму в контурі котушки.Напрямок дії на­веденої ЕРС самоіндукції визначається законом Ленца, а саме:

якщо швидкість змінення струму в контурі котушки ^|>0> то е_г <0 і

спрямована назустріч струму (має назву протидійноїелектрорушійної сили);

якщо швидкість змінення струму у контурі котушки ~ < О, то є_г > 0 і спрямована однаково зі струмом.

12.11. ПЕРЕХІДНИЙ ПРОЦЕС

В ЕЛЕКТРИЧНОМУ КОЛІ З КОТУШКОЮ

ІНДУКТИВНОСТІ, ПРИЄДНАНОЮ

ДО ДЖЕРЕЛА ПОСТІЙНОГО СТРУМУ

Розглянемо схему електричного кола (рис. 12.15), яка містить котушку індуктивності L та активний елемент R, приєднані через вмикач Вмк по­слідовно до джерела живлення постійного струму з електрорушійною си­лою е.

У момент замикання вмикача ^Вмк струм у колі не миттєво досягне

усталеного значення І = е / R вна- £ҐТ\ сф 奲

слідок того, що крім електрору- шійної сили джерела живлення в котушці індуктивності виникає _{Рис 12 15}

електрорушійна сила самоіндук­ції e_L, яка спрямована назустріч струму і протидіє його зростанню.

Рівняння електричної рівноваги кола за другим правилом Кірхгофа

E = Ri~e_] = Ri + L^-, ^L dt

або у вигляді

£.„ --L4L R ' ' Rdt'

Оскільки величини L та R незмінні у колі, то величина т -= L/R також незмінна для кола і має назву сталої часу, с.

Якщо E/R = / — усталене значення сили струму, якому відповідає e_L = 0, то рівняння кола перетворюється на диференціальне рівняння

і di

dt

Розділимо його змінні

di ₌dt 1-і т'

і з урахуванням того, що d(I ~і) = ~di, отримаємо

d(I-i)_ dt 1-і т"

Після інтегрування

Inf/-/) = -- +const. І

Нехай постійна інтегрування const = In /І, тоді після її підстановки та потенціювання отриманого рівняння матимемо

1п( /-і) = ~-- + \пА;

In

1

т

е

А

1 -і А

Звідси миттєве значення сили струму у гілці з котушкою індуктивності в разі її ввімкнення у будь-який момент часу ста­новить

_/

і~1-Ае ^х.

Якщо до ввімкнення гілки з котушкою індуктивності струму у колі не було, тобто / ~ 0, 'і о постійна інтегрування в момент часу / = 0 буде

о

0=/-Ле"Ч Л-/

і відповідно струм у гілці з котушкою індуктивності в разі її ввімкнення

{ 1 \

}

У момент увімкнення (/ — Ü) струм збільшується від нуля зі швидкістю

W /тих

/ ER Е

т Же Г

І

І

СІЇ

dt

З часом швидкість зростання струму спадає за експонентою

Z —

-е

( t

Ä

Е

di

і при / ~ос;, коли с ^с -~0, ■—'--О, струм досягне усталеного значення

dt

при / = 3т струм і_3т = /II-

І = Е/Я. Як видно з виразу повного струму, він досягає усталеного зна­чення лише через нескінченний проміжок часу після ввімкнення котуш­ки індуктивності. Однак уже коли і - т, струм буде /_т = / ^1 - е'¹ ^ = 0,63 /,

₂₀^=0,95/, апри / = 4,6т струм /_46т=0,99/.

Електрорушійну силу самоіндукції котушки індуктивності визначають за відомим виразом струму, а саме

, , -і _1 ^ dt х

У момент часу і = 0 електрорушійна сила самоіндукції котушки індук­тивності досягає максимуму:

^еє ~ ^еь шах ~ ~~ ^ ■

Часові діаграми струму в гілці з котушкою індуктивності та електрору­шійної сили самоіндукції в разі її приєднання до джерела живлення постій­ного струму наведено нарис. 12. і б.

12.12. ЕНЕРГІЯ МАГНІТНОГО ПОЛЯ

Відомо, що при ввімкненні котушки індуктивності на джерело жив­лення (рис. 12.17) струм у гілці з котушкою змінюється за законом

( &\

І=І

L

V

і наближається до усталеного значення /= /. Рівняння електричної рівно­ваги кола за другим правилом Кірхгофа

Вмк

Е = Ri+ Е~. dt

Помноживши обидві його частини па множник е( idt, отримаємо

Eidt - Ri²dt -t- Eidi = Rrdt + /V/МЛ

У цьому виразі Edi ~ d( Еі) ~ <7^VP, оскільки /, - const; Eidt — енергія джерела живлення, яку воно віддає у

зовнішнє коло для збудження струму; Ri²dt — енергія джерела, яка на активному опорі безповоротно перетворюється на теплоту; id^vV — енер­гія, яка накопичується у котушці індуктивності у вигляді магнітного поля, якщо при ній знак «плюс», та яка повертається до джерела живлення, якщо при ній знак «мінус».

Повна енергія, накопичена у вигляді магнітного поля котушки індук­тивності, становить

^{W = J Eidi}

EE

2

2

12.13. ГУСТИНА ЕНЕРГІЇ МАГНІТНОГО ПОЛЯ

Розглянемо осердя у вигляді тороїда(рис. 12.18), на якому розміщено котушку із загальною кількістю витків и> і зі струмом зовнішнього джерела живлення /. Створене котушкою індуктивності потокозчеплення

4^у = Ф>у = ВЗ^.

Н апруженість магнітного поля відпо­відно до закону повного струму

# = /м>/<?

і дає змогу визначити струм котушки, який його збуджує, тобто

Звідси енергія магнітного поля, зосере­джена в обмеженому об'ємі простору, вздовж якого вона замикається,

2

7

7

BSw Ht ви _S(,^ ВИ у

w

де — об'єм осердя, вздовж довжини середньої лінії і якого зами-

кається магнітний потік, збуджений котушкою індуктивності.

Якщо замість напруженості магнітного поля використати магнітну індукцію із виразу /У = /?/(иц₀), то енергія магнітного поля

ви

2 2цц₍₎

Магнітна енергія в одиниці об'єму, або густина магнітного поля,

>2

о

W ₌ В* V 2цц₍₎

12.14. ЕЛЕКТРОМАГНІТИ

Електромагніт клапанного типу (рис. 12.19) містить: нерухому части­ну —■ феромагнітне осердя з котушкою індуктивності, яка збуджує намаг-нічувальну силу; рухому частину — якір, що утворює робочу повітряну щілину з феромагнітним осердям; зворотну пружину.

Припустимо, що під дією сили /''зворотної пружини якір електромаг­ніту відірвався від стрижня осердя і відхилився на відстань робочої по­вітряної щілини 5. Здебільшого робоча щілина менша за довжину серед­ньої лінії магнітного кола (5« тому можна вважати, що магнітний потік Ф = EjR^ = const, оскільки опір магнітному потоку, пропорційний довжині силової лінії, практично не змінюється. При незмінному магніт­ному потоці електрорушійна сила самоіндукції e_L не збуджується і майже вся намагнічувальна сила котушки індуктивності перетворюється на теп­лову енергію на активному опорі котушки, тобто

Eidt = Ri²dt.

З іншого боку, при відриві якоря об'єм магнітно/о поля завдяки збіль­шенню повітряного робочого зазору також збільшиться, внаслідок чого зросте енергія магнітного поля на

4У/ ^ММ-сіУ. Причому слід пам'я­тати, що "її зростання зумовлене ме­ханічною роботою зовнішньої сили — зворотної пружини, тобто

сіЛ = /Ш.

Порівнюючи приріст енергії магнітного поля з роботою зовнішньої сили пружини; сШ^сІА, отримаємо

В² 2р₀

звідки сила, що утримує якір у притягнутому до стрижня стані,

.2

В²Я ₌ Ф'

Це рівняння має назву рівняння Максвелла.

12.15. ВЗАЄМНА ІНДУКТИВНІСТЬ

Якщо дві котушки індуктивності (контури) и>] і >у₂ розміщені поблизу одна від одної, із яких одна (уу₂) знеструмлена (рис. 12.20), то частина магнітного потоку Ф,, котушки ^ , а саме Ф_]2, може пронизувати витки котушки м?₂ і навпаки. Такі контури, або котушки, вважають індуктивно-зв'язаними або магнітно-зв'язаними. Звідси потокозчеплення з котушкою м?₂, зумовлене струмом і\ котушки ч>_}, становить

а потокозчеплення з котушкою зумовлене струмом і₂ котушки не­відповідно

¥₂₁=*,ф_2].

Оскільки потокозчеплення котушок прямо пропорційні струмам, які їх зумовлюють, тобто ¥₁₂ ~ і_х, У_2І ~ і₂, то відношення

12

Т>

21

м

однакові і мають назву взаємної індуктивності контурів та и>₂

Рис. 12.20

Визначимо відношення частими магнітного потоку Ф,,, зчепленої -о,,_Уром котушки _ю „ошкно потоку Ф„ котушки^пдуктиГ

Аналогічно

Ф_2| Мм>₂

Ці спііїпідп011існпн лгпоть змогу ш-ічнччити ч-іп^м» * -тушки іпдуктивпосп, яка чумові ,1 :_м "і _щу ' -тричпс цихспіввідпошепь має иазву,^^

*^ФП ^Ф22 '

Цей косфіціснт завжди менший від одиниці, тобто А < 1.

12.16. ЕНЕРГІЯ МАГНІТНОГО ПОЛЯ ІНДУКТИВНО-ЗВ'ЯЗАНИХ КОНТУРІВ

^{мостів ™™™"> — котувкж іпдуктив-}

2 2 '

_{*ч>Рі мі'1 ^Т2' ==/',/| ±^~поинеп^ко^еплення котушки Ч>, =}

22 - 12 - ~ ~ ПОВИЄ ПОТОКОЗЧеШіеїШЯ КОТ_УШКИ щ

Потокозчеплення взаємної індуктивності Ч'₂, або ЧЛ₉ вважають по

Підставивши вирази потокозчеплення у рівняння енергії магнітного поля двох котушок індуктивності, отримаємо

2

(1^±МІ₂)І_Х (Ь₂і₂±Мі_})і₂ _ А,/2 _і Л₂/₂²

₁ +-у-±Л//_І/₂ >0.

Залежно від взаємного напрямку магнітних потоків Ф_]2 та Ф₇,, а та­кож Ф_2] та Ф_п взаємна індуктивність може збільшувати накопичену енергію магнітного поля котушки або зменшувати її.

12.17. ЕЛЕКТРОРУШІЙНА СИЛА ВЗАЄМНОЇ ІНДУКЦІЇ

Змінений струму, наприклад /,, в одному із іидуктивпо-зв'язниих кон­турі» (рис. 12.20) сприяє зміиспню потокозчеплення в іншому контурі і, як наслідок, до появи в ньому електрорушійної сили взаємоіндукції. Так, ЕРС, наведена в контурі ту₂ змінним струмом /; контуру м', (рис. 12.20), становить

сі( Мі_{}

М

сії

(її

12

(її'

а наведена в контурі >^ змінним стру­мом і₂ контуру — відповідно

■Мі

с/^кУ, сіі

с/(Мі₂) сії

м

1

СІЇ

Для наведеної па рис. 12.21 еквівалентної електричної схеми іпдук-тивпо-зв'язаних котушок на підставі другого правила Кірхгофа з ураху­ванням ЕРС взаємоіндукції рівняння електричної рівноваги набирають ви гляду

II -> + Ст ч 4- Є

.2 ^^_Мі =/₂Л₂,

або

сіі_] сі і

+ М

Яг.

СІ і '

сії-

сіі,

12.18. МАГНІТНИЙ ЗВ'ЯЗОК КОНТУРІВ

Магнітний зв'язок двох контурів, або котушок, можна виконати змінним, якщо одну із котушок переміщувати або обертати відносно дру­гої, нерухомої котушки. Такий пристрій має назву варіометра. Варіометр, у якого дві котушки індуктивності (и*] і уг₂ ) з'єднані послідовно і котуш­ка має змогу обертатися навколо осі, наведено на рис. 12.22.

Якщо вектори магнітних індукцій котушок В[ і Ві розміщені під ку­том ф<±90°, то магнітні потоки самоіндукції Ф_п і Ф₂₁ та взаємоіндукції Ф₂₂ і Ф_]2 спрямовані однаково, а ввімкнення котушок називають узго­дженим.

Якщо вектори магнітних індукцій котушок В\ і #2 розміщені під ку­том ф>±90°, то магнітні потоки самоіндукції Ф,, і Ф_2І та взаємоіндукції Ф₂₂ і Ф,2 спрямовані протилежно, а ввімкнення котушок називають зу­стрічним.

На схемах електричних кіл із взаємоіндукцією будь-яке ввімкнення виз­начається відносно генераторних точок (*), а саме: узгоджене ввімкнення зображено на рис. 12.23, а, зустрічне — на рис. 12.23, б.

Для узгодженого ввімкнення котушок індуктивності варіометра рівнян­ня електричної рівноваги має вигляд

сіі

сіі

^{и = і ( V" *2) + к I + Ч. § + 2 = / (К{ + К2) + % ( і, + 12 + 2 М),}

для зустрічного

сіі

сіі ' ~^£ Ш " сії "^ІІ ' сії

З рівнянь видно, що максимальну індуктивність А_тах = І, + і₂ + 2М_тах

о бидві котушки матимуть при їх співвісному розміщенні = (5]5₂) — 0°^ та узгодженому ввімкненні, мінімальну індуктивність £_тш =Ц + Ь₂ ~2М_тдх — при їх співвісному розміщенні (ф ( В\В2) = 180°^, але зустрічному ввімк-

У разі розміщення котушок індуктив­ності під кутом ф( і?]і?₂) = 90^о взаємна ін­дукція їх М = 0, оскільки ортогональні маг­нітні потоки не взаємодіють.

М М

*^іТдг^ ^^ТГУ^ьІ"*

а

Р

ОЗДІЛ

електромагнітне поле

Змістом розділу є макроскопічна теорія електромагнітного поля, ос­нову якого становлять виведені Дж. Максвеллом рівняння електродина­міки. Електромагнітне поле, як і речовина, має масу, енергію, кількість руху і момент кількості руху, тобто властивості матерії, яка підпорядко­вується основним законам фізики.

Електромагнітне поле має власні особливості, які відрізняють його від речовини. Воно, як і будь-який вид матерії, утворюється за рахунок інших видів матерії і може перетворюватися в інші види матерії. Закон збере­ження і перетворення енергії при цьому зберігається.

Електромагнітне поле характеризується наявністю електричного та магнітного полів, які пов'язані безперервними взаємними перетворення­ми. Під електромагнітним полем розумітимемо сукупність певних фізич­них явищ, які відбуваються в матеріальній сфері й являють собою певні форми руху матерії.

Таким чином, електромагнітне поле поширюється тим або іншим спо­собом від однієї матеріальної точки до іншої.

13.1. ГРАДІЄНТ СКАЛЯРНОГО ПОТЕНЦІАЛУ

Певні види полів характеризуються наявністю скалярного потенціалу— штучною величиною, за допомогою якої можна виразити стан поля у будь-якій його точці, наприклад температуру в тепловому потоці, висоту місце­вості в гравітаційному полі. Електричне поле точкового заряду характе­ризується скалярним електричним потенціалом у кожній віддаленій точці. Потенціал визначається роботою, яку потрібно затратити на перенесення точкового заряду з точки, де умовно прийнято (р = 0, в задану точку поля. Якщо кількість перенесених точкових зарядів більше ніж один, то роботу потрібно ще поділити на цю кількість точкових зарядів або на їх повний заряд. Електричні поля такого роду мають назву безвихрових або потенці­альних. Основною особливістю скалярного потенціалу вважають його не­перервність, тобто плавне змінення у будь-якому напрямку від заряду. Однакові за значенням скалярні потенціали можна сполучити лініями, які в сукупності утворюють еквіпотенціальну лінію, поверхню.

Якщо помістити кульку на схилі, то вона прагнутиме скотитися вниз. Щоб ЇЇ утримати, потрібно прикласти зовнішню силу. Отже, поле притя­гання характеризується не тільки скалярним полем висот, а й векторним полем сил, які діють на кульку Значення сили залежить від крутизни схи­лу, тобто від швидкості змінення висоти відносно відстані до кульки, а саме при нескінченно незначних змінах їх, від похідної рівня висоти куль­

ки та відстані до неї.⁴ Напрямок сили збігатиметься з напрямком найбіль­шої крутизни схилу — градієнтом висоти поверхні. Виходячи з цього, градієнт — векторна величина, яку відраховують від меншого за значенням потенціалу до більшого. Якщо кульку підняти по схилу на висоту Р, то її градієнт визначається символом ^гасі Р або УР.

Розглянемо приклад визначення градієнта потенціалу кульки. Нехай висота схилу від поверхні Землі на початку руху кульки вгору становить Р=2м (рис. 13. і). Однакові потенціали або однакові висоти на схилі зоб­ражено похилими лініями. Припустимо, що в разі переміщення по прямо­му шляху вгору вздовж осі х па один метр кулька підніметься на 0,09 м, а в разі руху вздовж осі у па один метр кулька підніметься на 0,04 м. Тоді рівнян­ня руху кульки матиме вигляд

/'.-?. : 0,09л- і-0,04 у.

дР

Крутизна схилу або складова градієнта вздовж осі х, становить — =

л />

-- 0 09 а вздовж осі у - відповідно , = 0,04. В цьому разі значення гра-

^{1 1} ау

дієпта, тобто найбільшої крутизни схилу за двома координатами,

^{т\ЛР-Л^2 \ ^^Х = 0,0985.}

З рис. 13.1 видно, що градієнт, як і гіпотенуза, визначається векторною сумою його складових - проекцій на осі координатної системи, побудо­ваної в точці відліку а тому для поверхні його можна подати у векторній формі:

8.ж1 Р ^Г'!--ї-\-У~І ^^(!-^09Г + <М)47. ііх ау

У разі тривимірного потенціального поля у прямокутній системі коор­динат (рис. 13.2, а) узагальнено отримаємо:

сіх ау дг

де /, у , к -- одиничні вектори, спрямовані відповідно вздовж осей х, у, і.

У циліндричній системі з координатами г, 0, і (рис. 13.2, б) складові

дР , ... дР~,

градієнта вздовж осей становлять: по радіусу і_г; по дотичній _г^Ч)>

по азимуту ^ к, а градієнт відповідно визначають так:

V/^l_{r +} ¹^l_e+^. дг ' гдО ⁹ ді

Для вектора градієнта характерні дві особливості:

1) градієнт тим більший, чим більша швидкість змінення скалярного потенціалу по відстані, тобто чим ближче розміщені еквіпотенціальні лінії (поверхні), що незначно відрізняються одна від одної;

2) градієнт завжди перпендикулярний до еквіпотенціальної поверхні.

у CO

P 's~ const Р₂ = const \ Pa>P₂>P\ Pi - const

Оскільки потенціал визначається роботою, то градієнт — це також робота, віднесена до одиничного точкового заряду в процесі його пересування, тобто це сила, віднесена до точко­вого заряду. Інакше кажучи, градієнт поля — це межа відношення сили, з якою електричне поле діє на пробний негативний заряд, до цьо­го заряду за умови, що його значення набли­жається до нуля, тобто (--а) —> 0.

Якби пробний заряд не мав інерції, то його рух під дією сил поля відбувався б по деякій лінії — силовій лінії (лінії поля). Град і єі іт у буд ь- якій точці поля спрямовано по дотичній до Рис. із.з

лінії поля (рис. 13.3).

Градієнт, взятий з протилежним знаком, має назву напруженості елек­тричного поля Вона дорівнює межі відношення сили, з якою поле діє на пробний позитивний заряд, до цього заряду за умови, що його значен­ня наближається до нуля, тобто (+а) 0. Отже,

Е -- -Уф -~ -^гасіф.