Вопрос 3

Какими параметрами характеризуется нормальный закон распределения случайной величины? В чем его смысл? По каким формулам определяются математическое ожидание и среднеквадратическое отклонение и какие им соответствуют встроенные функции Mathcad? Как вычисляется несмещенная оценка дисперсии в Mathcad?

Нормальный закон распределения случайной величины имеет такие параметры как мат. ожидание, дисперсия, смещения и среднеквадратичное отклонение. Его используют для получения более точной оценки. Ошибки с хорошим приближением подчинены нормальному закону распределения.

Смысл закона: сумма многих независимых источников погрешностей с произвольными функциями распределения асимптотически имеет нормальное распределение, если только ни одна из этих погрешностей не является превалирующей:

Мат. ожидание погрешности производят путем определения среднего арифметического погрешностей всех измерений:

Оценку среднего квадратического отклонения случайных погрешностей Sx определяют по формуле:

где - несмещенная (уточненная) оценка дисперсии, которая вычисляется по формуле:

В системе MathCAD имеются встроенные функции для вычисления оценок математического ожидания, дисперсии и среднеквадратического отклонения:

1. mean(v) - среднее арифметическое элементов вектора V

где N - число элементов вектора V, т.е. число членов выборки

2. var(v) - дисперсия

var(V)=

3. stdev(v) - среднеквадратическое отклонение

stdev(V)=

Для вычисления распределения вероятности нормального распределения со средним m и среднеквадратическим отклонением в точке x используются следующие функции:

dnorm(x, m, ) – плотность вероятности распределения;

pnorm(x, m, ) – функция распределения вероятности (вероятность того, что случайная величина X меньше или равна x);

Для вычисления плотностей вероятности распределения Стьюдента с d степенями свободы в точке x используются функции:

dt(x, d) – плотность вероятности распределения Стьюдента;

Функции вероятности для распределения Стьюдента:

pt(x, d) – функции распределения вероятности распределения Стьюдента;

А вот для несмещенной оценки как я поняла это все т же самые функции, только с большой буквы начинаются: Var(V), Sdev(V), V- вектор или матрица случайных чисел.

Вопрос 4

В чем суть критерия хи-квадрат? Что такое доверительная вероятность и вероятность ошибки первого рода?

1.Суть хи-квадрата.Благодаря тесной связи с нормальным распределением, χ2-распределение играет важную роль в теории вероятностей и математической статистике. χ2-распределение, и многие другие распределения, которые определяются посредством χ2-распределения (например - распределение Стьюдента), описывают выборочные распределения различных функций от нормально распределенных результатов наблюдений и используются для построения доверительных интервалов и статистических критериев.

Распределение Пирсона   (хи - квадрат) – распределение случайной величины   где X1, X2,…, Xn - нормальные независимые случайные величины, причем математическое ожидание каждой из них равно нулю, а среднее квадратическое отклонение - единице.

Сумма квадратов

2. Доверительный интервал — термин, используемый в математической статистике при интервальной (в отличие от точечной) оценке статистических параметров, что предпочтительнее при небольшом объёме выборки. Доверительным называют интервал, который покрывает неизвестный параметр с заданной надёжностью.

Доверительным интервалом параметра θ распределения случайной величины X с уровнем доверия 100p%, порождённым выборкой (x₁,…,x_n), называется интервал с границами  (x₁,…,x_n) и  (x₁,…,x_n), которые являются реализациями случайных величин L(X₁,…,X_n) и U(X₁,…,X_n), таких, что

.

Граничные точки доверительного интервала   и   называются доверительными пределами.

3. Ошибки первого рода и ошибки второго рода в математической статистике — это ключевые понятия задач проверки статистических гипотез. Тем не менее, данные понятия часто используются и в других областях, когда речь идёт о принятии «бинарного» решения (да/нет) на основе некоего критерия (теста, проверки, измерения), который с некоторой вероятностью может давать ложный результат.

Пусть дана выборка   из неизвестного совместного распределения  , и поставлена бинарная задача проверки статистических гипотез:

где   — нулевая гипотеза, а   — альтернативная гипотеза. Предположим, что задан статистический критерий

,

сопоставляющий каждой реализации выборки   одну из имеющихся гипотез. Тогда возможны следующие четыре ситуации:

1. Распределение   выборки   соответствует гипотезе  , и она точно определена статистическим критерием, то есть 

2. Распределение   выборки   соответствует гипотезе  , но она неверно отвергнута статистическим критерием, то есть  .

3. Распределение   выборки   соответствует гипотезе  , и она точно определена статистическим критерием, то есть  .

4. Распределение   выборки   соответствует гипотезе  , но она неверно отвергнута статистическим критерием, то есть  .

Во втором и четвертом случае говорят, что произошла статистическая ошибка, и её называют ошибкой первого и второго рода соответственно.

Лабораторная работа №3