15. Элементарные преобразования слу. Эквивалентные системы

Две системы называются эквивалентными (равносильными), если они имеют одно и то же общее решение. Другими словами, системы эквивалентны, если каждое решение одной из них является решением другой, и наоборот.

Эквивалентные системы получаются, в частности, при элементарных преобразованиях системы при условии, что преобразования выполняются лишь над строками матрицы.

Эл. Пр.: Перестановка уравнений системы, прибавление к одному уравнению системы другого уравнения, умножение уравнения на число, отличное от нуля — такие преобразования системы называются элементарными преобразованиями системы.

16. Матрица системы. Расширенная матрица системы. Теорема Кронекера-Капелли.

     Матрицу A называют матрицей (или основной матрицей) системы.

Если к этой матрице добавить столбец свободных членов, то матрица будет называться расширенной.

Теорема Кронекера-Капелли.

Система линейных алгебраических уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг её основной матрицы равен рангу её расширенной матрицы, причём система имеет единственное решение, если ранг равен числу неизвестных, и бесконечное множество решений, если ранг меньше числа неизвестных.

17. Матричный способ решения системы линейных уравнений.

Матричный метод применим к решению систем уравнений, где число уравнений равно числу неизвестных.

Метод удобен для решения систем невысокого порядка.

Метод основан на применении свойств умножения матриц.

Находим обратную матрицу и умножаем ее на столбец свободных членов.

Затем делаем проверку.

18. Метод Гаусса.

Универсальныый метод решения СЛУ. Происходит последовательное исключение переменных и матрица приводится к треугольному или трапецивидному виду, причем, если количество уравнений (m )равно количеству переменных (n) в полученном виде, то имеет 1 решение.

Если же m<n то бесконечное число решений.

Если же в результате преобразований получится уравнение в правой части которого одни нули, а в левой части выражение не равно 0, то система не имеет решений.

19. Метод Крамера

Метод Крамера— способ решения систем линейных уравнений, у которых количество переменных равно количеству уравнений. Применение метода Крамера возможно, если определитель, составленный из коэффициентов при переменных, не равен нулю. В таком случае система имеет единственное решение . Создан Габриэлем Крамером в 1751 году. Находим главный определитель. Заменяем столбец коэффицентов при переменной столюцом свободных членов. Вычисляем получившееся.(дельта X) и делим получившееся число на главный определитель.

20. Системы однородных линейных уравнений.