11. Обратная матрица. Алгоритм нахождения обратной матрицы.

Матрица А^-1 называется обратной матрицей по отношению к матрице А, если А*А^-1 = Е, где Е — единичная матрица n-го порядка. Обратная матрица может существовать только для квадратных матриц

Алгоритм нахождения обратной матрицы

1. Вычисление определителя матрицы A. Если он не равен нулю, продолжаем решение, иначе - обратной матрицы не существует.

2. Нахождение транспонированной матрицы A^T.

3. Определение алгебраических дополнений.

4. Составление обратной матрицы из алгебраических дополнений.

12. = 5.

13. Ранг матрицы. Способы нахождения ранга матрицы.

Ранг матрицы – это наивысший порядок минора матрицы, отличного от нуля. Ранг матрицы А обозначают как Rank(A). Можно также встретить обозначения Rg(A) или Rang(A). Из определений ранга матрицы и минора матрицы можно заключить, что ранг нулевой матрицы равен нулю, а ранг ненулевой матрицы не меньше единицы. 

Методы:

• по определению методом перебора всех миноров;

• методом окаймляющих миноров;

• методом элементарных преобразований.

Итак, первым методом нахождения ранга матрицы является метод перебора миноров. Этот способ основан на определении ранга матрицы.

Если есть хотя бы один элемент матрицы, отличный от нуля, то ранг матрицы как минимум равен единице (так как есть минор первого порядка, не равный нулю). Далее перебираем миноры второго порядка. Если все миноры второго порядка равны нулю, то ранг матрицы равен единице. Если существует хотя бы один ненулевой минор второго порядка, то переходим к перебору миноров третьего порядка, а ранг матрицы как минимум равен двум. Аналогично, если все миноры третьего порядка равны нулю, то ранг матрицы равен двум. Если существует хотя бы один минор третьего порядка, отличный от нуля, то ранг матрицы как минимум равен трем, а мы преступаем к перебору миноров четвертого порядка.

Метод окаймляющих миноров. Если все миноры, окаймляющие минор k-ого порядка матрицы А порядка p на n, равны нулю, то все миноры порядка (k+1) матрицы А равны нулю. Таким образом, для нахождения ранга матрицы не обязательно перебирать все миноры, достаточно окаймляющих. Количество миноров, окаймляющих минор k -ого порядка матрицы А порядка  , находится по формуле  . Отметим, что миноров, окаймляющих минор k-ого порядка матрицы А, не больше, чем миноров (k + 1)-ого порядка матрицы А. Поэтому, в большинстве случаев использование метода окаймляющих миноров выгоднее простого перебора всех миноров.

Метод элементарных преобразований нахождения ранга матрицы. Суть метода элементарных преобразований заключается в приведении матрицы, ранг которой нам требуется найти, к трапециевидной (в частном случае к верхней треугольной) с помощью элементарных преобразований.

14. Определение системы линейных уравнений. Совместная и несовместная, определенная и неопределенная слу.

Система линейных уравнений — это объединение из n линейных уравнений, каждое из которых содержит k переменных.

Система, имеющая хотя бы одно решение, называется совместной; система, не имеющая ни одного решения — несовместной.

Совместная система называется определенной, если она имеет единственное решение, и неопределенной, если она имеет более одного решения. В последнем случае каждое ее решение называется частным решением системы. Совокупность всех частных решений называется общим решением.