Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное Агентство по образованию

Московский государственный открытый университет

Чебоксарский политехнический институт (филиал)

Кафедра управления и информатики в технических системах

Оптимальные системы автоматического управления

методическое пособие

для лабораторных работ

ЧЕБОКСАРЫ 2011

Рецензенты:

оптимальные системы автоматического управления: Методическое пособие для лабораторных работ/ Т.А. Изосимова, О. Н. Зайцев – Чебоксары: ЧПИ МГОУ, 2011. – с.

© Т.А. Изосимова, О. Н. Зайцев 2011

© Чебоксарский политехнический институт (филиал) МГОУ

Содержание

Введение

Лабораторная работа № 1. «Метод дихотомии»

Лабораторная работа № 2. «Метод «золотого сечения»

Лабораторная работа № 3. «Метод Зейделя- Гаусса»

Лабораторная работа № 4. «Синтез системы объекта второго порядка»

Лабораторная работа № 5. «Сравнительный анализ системы с ПИД-регулятором»

Приложение 1. «Варианты заданий №1»

Приложение 2. «Варианты заданий №2»

Приложение 3. «Варианты заданий №3»

Введение

Выбор структуры и параметров САУ определяет ее динамические свойства. Устойчивость системы является, как правило, необходимым, но далеко недостаточным условием для того, чтобы система выполняла свое назначение. Возникает задача обеспечения не только устойчивости, но и надлежащего качества САУ, а так же наилучшего (оптимального) режима функционирования. Такая задача может быть названа задачей оптимизации.

Постановка задачи на оптимизацию и ее решение включает в себя ряд этапов:

• выбор и обоснование цели оптимизации;

• согласование цели с имеющимися возможностями, т.е. учет ограничений;

• реализация способа достижения цели (экспериментального значения критерия качества) при учете ограничений.

Объекты оптимизации можно классифицировать по ряду признаков. К таким признакам относятся:

• число оптимизируемых параметров объекта;

• число экстремумов характеристики объекта, используемой как показатель качества;

• объем априорной информации об объекте;

• способ математического описания объекта.

Поиск экстремума функции включает в себя задачи нахождения локального и глобального экстремума. С помощью встроенных функций решается только задача поиска локального экстремума. Чтобы найти глобальный максимум (или минимум), требуется сначала вычислить все локальные значения и потом выбрать наибольший (наименьший), либо предварительно просканировать с некоторым шагом рассматриваемую область, чтобы выделить из нее наибольшие (наименьшие) значения функции и осуществить поиск глобального экстремума, уже находясь в его окрестности.

Для поиска локальных экстремумов имеются две функции, которые могут применяться как в пределах вычислительного блока, так и автономно.

Minimaze (f',х₁ ... ,х_м) — вектор значений аргументов, при которых функция достигает минимума;

Maximaze (f',х₁ ... ,х_м) — вектор значений аргументов, при которых функция достигает максимума;

где:

f(x₁,..., х_м) — функция;

x₁, ..., х_м — аргументы, по которым производится минимизация (максимизация).

Для выполнения поставленной нами задачи используем программный пакет Maple, который является продуктом компании Waterloo Maple Inc. (www.maplesoft.com).

Maple — среда для проведения математических преобразований широкого спектра и создания технической документации. Имеет собственный язык программирования, напоминающий Паскаль. Интерфейс программы позволяет решать множество задач — от элементарных проектных расчётов и алгоритмов до разработки сложных моделей, логического моделирования и обучения математике.

Программный пакет Maple может работать под управлением Windows® XP (и выше), на персональном компьютере с процессором Intel® Pentium III 650 МГц (и выше), при объеме оперативной памяти от 128 Мб (и выше).

Ключевые возможности Maple:

• Масштабируемый интерфейс.

• Мощный математический процессор.

• Возможность генерации кода.

• Аннотирование документов с помощью математических формул и ссылок.

• Логическое моделирование и проверка гипотез.

• Средства для пошаговой подготовки технической документации.

• Оценка взаимодействия объектов, определение математического соотношения.

• Перекрёстные ссылки в документах для быстрого доступа к вычислениям.

• Набор инструментов для динамического моделирования Dynamic Systems.

• Возможность использования языка программирования Maple для создания специализированных средств оптимизации и реконфигурации деталей.

Возможности для построения графиков в Maple:

• подстановка математических обозначений в заголовке

• создание меток и легенд

• поддержка международных обозначений

аннотирование графиков (чертёжные инструменты, дополнение текстом и формулами, рисование геометрических форм, стрелок и линий).

Для выполнения поставленной нами задачи так же используем программный комплекс для моделирования динамических систем «20-sim Pro 2.3», разработанный в TWENTE UNIVERSITY of TECHNOLOGY, Enschede, The Netherlands (www.20-sim.com).

Программный комплекс работает под управлением операционной системы Windows–9х, на компьютерах с процессором i486DX-4 и выше при объеме оперативной памяти не менее 16 Мб. Саморазархивирующийся файл «20sim» имеет объем 7,87 Мб и после запуска сам устанавливает программный комплекс на ПЭВМ. После завершения установки программный комплекс размещается в папке «20-sim» на выбранном пользователем диске. Одновременно в меню рабочего стола (Пуск  Программы  20-sim 2.3) помещаются команды доступа к основным файлам программы, предназначенных для:

• помощи (20-sim Help)

• руководство пользователя (20-sim Manual),

• демонстрации работы программы (20-sim Pro 2.3 demo),

• работы (20-sim Pro 2.3),

• демонстрации примеров моделей (Demo Models),

• обучения пользователей (Tutorial).

Файл Tutorial, предназначенный для обучения работе с программным комплексом автоматически запускает видеоплейер и позволяет просмотреть видеоролики, объясняющие приемы задания структурных схем, ввода значений, исправлений, получение результатов для трех приведенных выше видов представлений моделируемой системы (структуры типовых блоков из библиотеки программного комплекса; структуры, задаваемой в виде сигнального графа; математических выражений). Технологию использования «20-sim» для структурного моделирования динамических систем с помощью типовых блоков показывает файл Demoblk.

Программный комплекс для моделирования динамических систем «20-sim»состоит из двух связанных между собой программ:

1. Графического редактора (Graf Editor),

2. Моделирующей системы (Simulator).

Этапы моделирования объединены в две стадии в соответствии с используемой программой: составление модели и подготовка и проведение эксперимента.

При описании моделируемой системы в цикле лабораторных работ по курсу «Системы автоматизации и управления» используется представление моделируемой системы в виде структуры типовых блоков из библиотек программного комплекса для моделирования динамических систем «20-sim».

Представление моделируемой системы в виде блоков требует некоторого навыка. Наиболее просто задача решается, если математическое описание объекта, регулятора и преобразователей задается в виде передаточных функций. Структурная схема системы для моделирования на ПЭВМ получается с помощью последовательного, параллельного или встречно-параллельного соединения блоков, входящих в библиотеку пакета.

В библиотеки «20-sim» входят различные блоки: статические и динамические звенья, нелинейные, логические и дискретные блоки, источники сигналов, типовые регуляторы и критерии, блоки математических функций и др.

Лабораторная работа №1

"Метод «дихотомии»"

Цель лабораторного занятия

Исследование 2-х уравнений методом дихотомии с использования программного пакета Maple.

Задание на работу

1. Исследовать первое уравнение методом дихотомии с помощью программного пакета Maple, вывести график.

2. Исследовать второе уравнение методом дихотомии с помощью программного пакета Maple, вывести график.

Описание метода:

1. Выбирается интервал [x₁, x₂], на котором функция f (x) пересекает ось абсцисс один раз (см. рис.1).

2. Отрезок [x₁, x₂] делится пополам:

(1)

3. Вычисляется величина f (x₃) и полагается:

– x₂ = x₃ при f ’(x₂) f ’(x₃) < 0

– x₂ = x₃ при f ’(x_x) f ’(x₃) < 0

– при f ’(x₃) = 0 выполняется п.6

4. По формуле |x₂ – x₁| < ε₁ проверяется условие достижения заданной точности вычислений.

5. При несправедливости критерия остановки переходят к п2.

6. Процесс вычислений прекращается при достижении заданной точности вычислений, и последнее значение x₃ принимается в качестве искомого результата x₀, т.е. x₀ = x₃.

Рис.1

Выполнение работы

1. На основании алгоритма, описанного выше, составим структурную блок-схему:

^да

^нет

^да

^нет

_да

_нет

Рис. 2

2. Запишем программу в Maple, подставив значения своего варианта (см. Приложение №1).

restart:

> plot (0.6*x^4+2.5*x^2-3*x+6, x=-3..3) ;

> a:=0:

> b:=2:

> c:=0.05*(b-a):

> for i from 1 to 100

> while (b-a)>=2*c do

> x1:=(a+b-c)/2;

> x2:=(a+b+c)/2;

> y1:=0.6*x1^4+2.5*x1^2-3*x1+6;

> y2:=0.6*x2^4+2.5*x2^2-3*x2+6;

> if (y1<y2) then b:=x2;

> elif (y1>y2) then a:=x1;

> else

> a:=x1;

> b:=x2;

> fi;

> od:

> x:=(a+b)/2;

> y:=0.6*x^4+2.5*x^2-3*x+6;

> N:=i;

3. Результат (промежуточный и конечный): корни и число итераций:

Конечный результат:

Промежуточные итерации:

x1 := .9500000000

x2 := 1.050000000

y1 := 5.894953750

y2 := 6.335553750

x1 := .4750000000

x2 := .5750000000

y1 := 5.169606484

y2 := 5.167150234

x1 := .7125000000

x2 := .8125000000

y1 := 5.286269546

y2 := 5.474374390

x1 := .5937500000

x2 := .6937500000

y1 := 5.174667931

y2 := 5.260956153

x1 := .5343750000

x2 := .6343750000

y1 := 5.159692159

y2 := 5.200124837

x := .5546875000

y := 5.161932590

N := 6

4.Отчет о проделанной работе должен содержать:

• Задание на работу

• Ход выполнения работы

• Полученные результаты работы.

• Выводы о проделанной работе

Лабораторная работа №2

"Метод «золотого сечения» и «простой итерации»"

Цель лабораторного занятия

Исследование 2-х уравнений методом «золотого сечения» и «простой итерации» с использования программного пакета Maple.

Задание на работу

1. Исследовать первое уравнение методом «золотого сечения» с помощью программного пакета Maple, вывести график.

2.Исследовать второе уравнение методом «золотого сечения» с помощью программного пакета Maple, вывести график.

Описание метода:

«Золотым сечением» называется деление отрезка в следующей пропорции:

Длина l исходного отрезка относится к длине l₁ большего отрезка так же, как длина последнего относится к длине l – l₁ меньшего под отрезка (рис. 1).

l₁ l – l₁

l

рис. 1

Математически это утверждение выражается следующим соотношением:

, которое может быть записано в виде квадратного уравнения:

x₁² + x₁ – 1 = 0.

Здесь x₁ = l₁/l. Решив это уравнение, получим .

Число g, определяемое выражением, называется «золотым сечением». Оно представляет собой предел при k → ∞ отношения числе Фибоначчи F_{k – 1} и F_k :

Алгоритм метода «золотого сечения» такой же, что и в методе Фибоначчи. Разница лишь в том, что построение подинтервалов унимодальности [x_{j – 1}, x_j] происходит путем их последовательного деления в отношении «золотого сечения» g:

Таким образом, формулы примут вид:

x₁ = b – l₁ = b – lg,

x₂ = a + l₁ = a + lg.

По скорости сходимости метод «золотого сечения» уступает методу Фибоначчи. В то же время в некоторых случаях первый метод может оказаться более удобным, т.к. здесь деление отрезка всегда происходит в отношении постоянного числа g.