1.5 Дискретные случайные величины. Закон распределения вероятностей

Случайной величиной называется величина, которая в результате опыта может принять любые заранее неизвестные значения. Различают дискретные и непрерывные случайные величины.

Дискретной случайной величиной называется такая, значения которой есть конечное или счетное множество фиксированных величин. Для описания поведения дискретной случайной величины X задают все зна­ния х₁, х₂, ..., х_n, которые она может принять, и вероятности появления этих значений р_1, р₂, ..., р_n.

Законом распределения вероятностей (рядом распределения) дискретной случайной величины называется последовательность возможных значений случайной величины и соответствующих им вероятностей, причем

(16)

Х	Х1	Х2	…	Хn
P	P1	P2	…	Pn

Ряд распределения можно задать графически, откладывая на горизонтальной оси значения X, а на вертикальной — соответствующие им значения вероятностей. Графическое представление ряда распределения называется многоугольником распределения,

Для дискретной случайной величины можно ввести понятие функции распределения F(х), которая равна вероятности случайного события, состоящего в том, что дискретная случайная величина X примет одно из возможных значений, меньших некоторого значения х, т.е. F(х) = F(Х < х).

Если дискретные значения случайной величины расположены в порядке возрастания х₁, х₂, ..., х_n , то F(х) можно задать в виде

если х х1

если х1  х  х2

если х2  х  х3

………….

если хn-1  х  хn

если ххn

F (x) =

Ф ункцию распределения представляют графически в виде ступенчатой функции.

1.6 Математическое ожидание и дисперсия

Математическим ожиданием дискретной случайной величины называется сумма вида

М(Х) = х₁р₁ +х₂р₂ +…+х_np_n= , (17)

где

х_i– возможные значения дискретной случайной величины

р_{i –} вероятность появления значения х_i.

Математическое ожидание характеризует среднее значение случайной величины. Рассеяние случайной величины около среднего значения характеризуют дисперсию и среднее квадратичное отклонение.

Дисперсией случайной величины Х называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания:

Дисперсию целесообразно вычислять по формуле

D(X)=M(X²)-(M(X))² (18)

(X)= , (19)

где (X) – среднее квадратичное отклонение.

1.7 Функция распределения вероятностей и плотность вероятности

Непрерывные случайные величины: характеризуются тем, что их значения могут сколь угодно мало отличаться друг от друга. Вероятность события X < х (где Х — значение непрерывной случайной величины, а х — произвольно задаваемое значение), рассматриваемая как функция от х, называется функцией распределения вероятностей:

F(х)=Р(Х х) (20)

Производная от функции распределения вероятностей называется функцией плотности распределения вероятностей или плотностью вероятности:

f(x) = F’(x) (21)

Функция распределения вероятностей выражается через плотность вероятности в виде интеграла:

(22)