1 Теоретическая часть

1.1 Множество событий. Классическое определение вероятности события

Теория вероятности – математическая наука, изучающая закономерности случайных величин.

Математическая статистика – наука, изучающая методы обработки результатов наблюдений массовых случайных явлений.

В результате многократного повторения одних и тех же условий, ко­торые носят название испытаний или опытов, можно наблюдать появ­ление или не появление в них некоторого события. Такое событие, кото­рое может произойти или не произойти в результате опыта, называется случайным. Случайным явлением – называется явление, которое при неоднократном воспроизведении одного и того же опыта протекает несколько иначе.

Во многих задачах рассматривается схема равновозможных событий. Например, при бросании игральной кости имеется одна и та же возмож­ность появления любой из цифр от 1 до 6. Другим примером может слу­жить выбор номера объекта при контрольной выборочной проверке. Каждый из равновозможных результатов испытаний (опытов) назы­вается элементарным исходом. Элементарный исход может быть рас­смотрен либо как самостоятельное событие, либо как составляющая бо­лее сложного события. Под событием понимается явление, которое происходит в результате какого-либо определенного комплекса условий. При проведении опыта предполагается, что он может быть произведен сколь угодно большое число раз в одинаковых и неизменных условиях.

Событие называется случайным, если в результате опыта оно произойдет либо не произойдет. Событие называется достоверным, если оно обязательно появится в результате данного опыта и невозможным событием, если оно не может появиться. События обозначают буквами: А, В, С. События А и В называются совместными, если в результате данного испытания появление одного из них не исключает появление другого. Два события А и называются противоположными событиями, если не появление одного из них в результате данного испытания влечет появление другого. Событие А называется благоприятным событию В, если появление события А влечет за собой появление события В. Если группа событий А_1, А_2, …А_n такова, что в результате испытания должно произойти хотя бы одно из них и любые два из этих событий несовместны, то эта группа событий называется полной группой. События называются равновозможными, если по условию испытания нет оснований считать какое-либо из них более возможно, чем любое другое.

Каждый из равновозможных опытов называется элементарным исходом. Исход благоприятный в данном событии, если, его появление влечет за собой наступление этого события.

Количественной мерой возможности появления некоторого случай­ного события служит вероятность. При классическом определении за вероятность события А принима­ется отношение числа благоприятствующих этому событию элементар­ных исходов (m) к общему числу возможных исходов (n):

(1)

Данное определение (формулу) называют формулой классической вероятности.

Относительной частотой события называют отношения числа испытаний, в которых события появились к общему числу испытаний.

(2)

Сопоставляя два определения: вероятности относительной частоты заключаем, что определение вероятности не требует проведения опыта. Определение относительной частоты предполагает, что испытания были проведены. Отношение m/n при , где m-число появления события, n-общее число испытаний, называется статистической вероятностью события А.

1.2 Основные понятия комбинаторики

Для вычисления числа благоприятствующих рассматриваемому со­бытию исходов или общего числа элементарных исходов широко исполь­зуются формулы комбинаторики. Комбинаторика – раздел дискретной математики посвященный решению задач выбора или расположения элементов некоторого конечного множества. Если составляются такие комбинации из n элементов по m, которые отличаются друг от друга только составом элементов, то они называются сочетаниями. Общее число сочетаний из n элементов по m определяется по формуле

(3)

Если комбинации отличаются не только составом элементов, но и по­рядком их следования, то они называются размещениями. Их число на­ходится по формуле

(4)

Если комбинации берутся из всех n элементов и отличаются только порядком следования элементов, то они называются перестановками. Их число равно

. (5)

1.3 Теоремы сложения и умножения вероятностей

События называются несовместными, если они не могут появиться вместе в одном опыте. Если одно из событий произойдет обязательно, то такие события об­разуют полную группу. Суммой событий называется событие, состоящее в появлении хотя бы одного из рассматриваемых событий.

Теорема сложения вероятностей несовместных событий.

Вероят­ность суммы конечного числа несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий:

Сумма вероятностей событий, образующих полную группу, равна единице.

Произведением событий называется событие, состоящее в появлении всех из рассматриваемых событий.

Вероятность события В, вычисленная при условии, что произошло событие А, называется условной вероятностью события В относительно события А. Эта вероятность обозначается Р_А(В)

Теорема умножения вероятностей двух событий.

Вероятность про­изведения двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность второго относительно первого:

Р(АВ) = Р(В)Р_В(А) = Р(А)Р_А(В) (6)

Эта теорема обобщается на любое конечное число событий: Р(АВС…LМ) = Р(А)Р_В(А)Р_С(АВ)…Р_М(АВ…L) (7)

Если появление одного из событий не влияет на вероятность появле­ния другого, то такие события называются независимыми. Для независимых событий вероятность их произведения равна про­изведению вероятностей этих событий.

Р_А(В)=Р(В) (8)

Для двух независимых событий

Р(АВ) = Р(А)Р(В) (9)

События называются совместными, если они могут появиться одновременно в одном опыте.

Теорема сложения вероятностей двух совместных событий.

Веро­ятность сложения двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления:

Р(А + В) = Р(А) + Р(В) - Р(АВ) (10)

303 1.4 Основные формулы для вычисления вероятности событий

Формула полной вероятности

Р(В) = Р(А₁)Р_А1(В)+Р(А₂)Р_А2(В)+…+Р_Аn(В) (11)

Формула Байеса

Если некоторое событие В происходит с одним из п несовместных событий А₁, А₂, ..., А_n, образующих полную группу событий, то для оп­ределения вероятности события А_n при условии что произошло событие В используется формула Байеса.

Р_В(А_n) = P(А_n)Р_Аn(В) / Р(В) = Р(А_nВ) / Р(А₁)Р_А1(В)+Р(А₂)Р_А2(В)+…+Р_Аn(В) (12)

Если при проведении испытаний вероятность появления события А не зависит от исходов других испытаний, то такие испытания называются независимыми.

Формула Бернулли определяет вероятность появления ровно m раз события А в серии из n независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события А равна р:

Р_n(m) = , (13)

где

_, (14)

q = 1–p (15)