Применяя первый закон Кирхгофа для узла а и закон Ома, можно записать

, где Rэкв – это такое одно эквивалентное сопротивление, которое будучи включено в цепь вместо R₁, R₂,R₃ не изменит силу тока I₀, далее сокращаем на U, получим, ; но мы знаем, что величина обратно пропорциональная сопротивлению есть проводимость G, т.о.G_ЭКВ = G₁ + G₂ + G₃ ; В общем виде , т.е. эквивалентная (общая) проводимость цепи, состоящей из нескольких ветвей, соединённых параллельно, равна сумме проводимостей всех ветвей. Зная G_ЭКВ, найдём Rэкв. ,

В частном случае, если имеется цепь с двумя ветвями и соответственно с двумя резисторами

G_экв = G₁ + G₂ или , откуда

При параллельном соединении любого числа резисторов эквивалентное сопротивление всегда меньше меньшего из них.

При параллельном сопротивлении n одинаковых резисторов , где R – сопротивление одного резистора.

Типичные примеры для радиотехника

Пример№1: Пять резисторов с сопротивлением по 100 Ом каждое соединены параллельно. Определить R_экв.

Решение: R_экв = R/n =100/5 = 20 Ом.

Пример №2: Требуется резистор с сопротивлением R = 4,8 Ком; В наличии имеется резистор с сопротивлением R₁ = 8 Ком. Определить сопротивление R₂, которое необходимо подключить параллельно с R₁, чтобы получить требуемое R = 4,8 Ком.

Решение: , решая уравнение относительно R₂, получим , т.о. резисторы 8 и 12 Ком, соединённые параллельно обладают сопротивлением 4,8 Ком (т.е. соблюдается правило «меньше меньшего»).

Пример №3: Цепь должна состоять из источника с ЭДС Е = 10 В, нагруженного на резистор с сопротивлением 20 Ом. В наличии имеются резисторы с сопротивлением 20 и 100 Ом, с допустимой мощностью рассеяния 1 Вт в каждом резисторе.

Выбрать резисторы, обеспечивающие заданное сопротивление и необходимую мощность.

Решение: Определим мощность, которая будет рассеиваться в нагрузке P = U² / R = 10² / 20 = 5 Вт. Если взять резистор 20 Ом, 1 Вт, то он перегреется и сгорит, т.к. рассеиваемая на нём мощность в пять раз превысит номинальную. Если взять пять резисторов по 100 Ом и соединить их параллельно, то их R_экв= 20 Ом, , при этом рассеиваемая мощность 5 Вт равномерно распределится по всем пяти резисторам и составит 1 Вт на каждый резистор, что тоже допустимо.

Смешанное соединение резисторов

Это такое соединение, при котором в схеме имеются участки с последовательным и участки с параллельным соединением элементов. При расчёте таких цепей выделяют отдельные участки и к этим участкам применяют формулы полученные ранее.

Примерная методика расчёта:

1. Производится анализ схемы, определяются участки с последовательным и участки с параллельным включением элементов. Здесь же определяют участки с одинаковой силой тока.

2. Обозначаются узлы и составляются уравнения 1-го закона Кирхгофа для некоторых узлов схемы. (понимание - для каких узлов, придёт позднее, пока составляем для всех).

Определяем сопротивления участков и всей цепи, при определении сопротивлений участков цепи нумеруем сопротивления так, что запятая означает разрыв в нумерации, а тире означает непрерывность нумерации, например R_1,5 – означает, что мы учитываем только первое и пятое сопротивление, а R_1-5 означает, что мы учитываем R₁, R₂, R₃, R₄, R₅

3. Определяют величины токов и напряжений, ЭДС, мощностей, работ ( в зависимости от вопросов в задаче).

4. Производится проверка решения.

Пример №1:

Дано: R₁ = 60 Ом, R₂ = 30 Ом, R₃ = 20 Ом, R₄ = 8 Ом, R₅ = 10 Ом, R₆ = 60 Ом, R₇ = 20 Ом, R₈ = 34 Ом, U_AF = 120 B.