Определить все токи.

Решение:

На схеме выделим след. участки с последовательным включением : R₁ – R_2,3 – R₄ – R_5-7 – R₈; участки с параллельным включением: R₂// R₃, R₅// R₆// R₇.

Участки с равными токами: I₁ = I₄ = I₈

Уравнения 1-закона Кирхгофа: для узла В: I₁ = I₂ + I₃; для узла С: I₂ + I₃ = I₄; для узла D: I₄ = I₅ + I₆ + I₇; Для узла К: I₅ + I₆ + I₇ = I_8.

Находим сопротивление участков ВС и DК, Применяем формулу для двух сопротивлений, включенных параллельно: Ом ;

При параллельном соединении складываются проводимости, т.е. G_5-7 = G₅ + G₆ + G₇, след.

, откуда R_5-7 = 6 Ом.

Далее для удобства можем представить схему в виде

Находим эквивалентное сопротивление

R_экв = ­R₁ + R_2,3 + R₄ + R_5-7 + R₈ = 60 + 12 + 8 + 6 + 34 = 120 Ом.

Находим токи I₁ = I₄ = I₈ = U_AF / R_экв = 120 / 120 = 1 A.

Нахождение токов I₂ и I₃ можно выполнить несколькими способами:

Способ №1: составить систему уравнений, используя 1-ый закон Кирхгофа для узла В, и зная о том, что токи в параллельных ветвях распределяются обратно пропорционально их сопротивлениям, тогда получим ,

решая систему уравнений

методом подстановки, получим I₂ = 0,4 А; I₃ = 0,6 А.

Способ №2: Найдём падение напряжения на участке ВС, это падение напряжения создаётся током I₁, который протекает по сопротивлению R_2,3 т.о.

U_bc = I₁ · R_2,3 = 1 · 12 = 12 B, далее принимаем во внимание, что падение напряжения на R₂ от протекания тока I₂ равно падению напряжения на R₃ от протекания тока I₃ и равно U_bc = 12 В , в этом случае применяем закон Ома и находим

I₂ = U_bc / R₂ =12 / 30 = 0,4 А;

I₃ = U_bc / R₃ = 12 / 20 = 0,6 А.

Токи I_5, I_6, I₇ находим вторым способом т.к. первый способ затруднителен (хотя и возможен) т.к. система уравнений усложнена из-за наличия трёх ветвей.

U_dk = I₄ · R_5-7 = 1 · 6 = 6 B,

I₅ = U_dk / R₅ = 6 / 10 = 0,6 А; .

I₆ = U_dk ./ R₆ = 6 / 60 = 0,1 А.

I₇ = U_dk / R₇ = 6/ 20 = 0,3 А.

Проверка:

для проверки используем 1-ый закон Кирхгофа, а также, то обстоятельство, что сумма падений напряжения на последовательно включённых элементах равна напряжению на зажимах.

I₁ = I₂ + I₃; 1 = 0,4 + 0,6 ;

I₄ = I₅ + I₆ + I₇ ; 1 = 0,6 + 0,1 + 0,3 ;

U_AF = U_Ab + U_bc + U_cd + U_dk + U_kF ; 120 = 1 · 60 + 1 · 12 + 1 · 8 + 1 · 6 + 1 · 34.

Расчёт цепей методом свёртывания

Метод применяют при расчёте цепей, в которых имеется более 2-х узлов, при этом сохраняется вся методика расчёта цепей при смешанном соединении элементов (предыдущий пример), особенностью является то, что схема рассчитывается, начиная с конца.

Пример:

Дано: ­R₁ = ­R₂ = ­R₇ = ­R₉ = ­R₁₀ = 10 Ом; R₃ = ­R₆ = ­R₈ = 20 Ом; R₄ = ­R₅ = 5 Ом;

U_АБ = 150 В.

Определить все токи.

Решение.

Анализ схемы: Исходя из указанных знаков напряжения на зажимах, все токи текут слева направо и сверху вниз, т.е. из точки с более высоким потенциалом к точке с более низким потенциалом.

Участки с последовательным соединением: R₁ – R_3-10 – R₂; R₄ – R_6-10 - R₅; R₁₀ – R₉;

R₇ – R_8-10 ; Участки с параллельным соединением: R₃ // R_4-10; R₆ // R_7-10; Исходя из этого

I₁ = I₂, I₄ = I₅, I₉ = I₁₀ . Номера токов совпадают с номерами сопротивлений.

Применяем 1-ый закон Кирхгофа для узлов C, F, L, K, D: ­

I₁ = I₃ + I₄;

I₄ = I₆ + I₇;

I₇ = I₈ + I₁₀;

I₅ = I₆ + I₈ + I₉;

I₂ = I₃ + I₅;

Начинаем «сворачивать» схему от конца, при этом определяем эквивалентные сопротивления по отдельным участкам:

R_9-10 = 10 + 10 =20 Ом;

R₈ = R_9-10 и включены параллельно след., R_8-10 = R₈ / 2 = 20/2 = 10 Ом;

R_7-10 = R₇ + R_8-10 = 10 + 10 = 20 Ом;

R₆ = R_7-10 = 20 Ом, след., R_6-10 = R₆ / 2 = 20/2 = 10 Ом.

R_4-10 = R₄ + R_6-10 + R₅ = 5 + 10 + 5 = 20 Ом.

R₃ = R_4-10 ; след., R_3-10 = R₃ /2 = 10 Ом.

Находим эквивалентное сопротивление для всей схемы, т.е. такое одно сопротивление, которое может заменить все 10 сопротивлений, при этом токи на входе и выходе схемы не должны измениться:

R_экв = R_1-10 = R₁ + R_3-10 + R₂ = 10 + 10 + 10 = 30 Ом.

Получаем схему:

Находим токи в различных участках схемы:

I₁ = I₂ = U_АБ / R_экв = 150 / 30 = 5 А.

U_СD = I₁ · R_3-10 = 5 · 10 = 50 B.

I₃ = U_СD / R₃ = 50/ 20= 2,5.

I₄ = U_СD / R_4-10 = 50/20 = 2,5 А.

I₅ = I₄ = 2,5 А.

U_FK = I₄ · R_6-10 = 2,5 · 10 = 25 В.

I₆ = U_FK / R₆ = 25/20 = 1,25 А.

I₇ = I₄– I₆ = 2,5 – 1,25 = 1,25 А.

U_KL = I₇ · R_8-10 = 1,25 · 10 = 12,5 А.

I₈ = U_KL / R₈ = 12,5/20 = 0,625 А.

I₉ = I₁₀ = I₇ – I₈ = 1,25 – 0,625 = 0,625 А.

Проверка решения может быть выполнена несколькими способами; в нашем случае наиболее простой путь: U_АБ = U₁ + U₂ + U₃ = I₁·R₁ + I₂·R₂ + I₃·R₃ ;

150 = 5·10 + 5·10 + 2,5 ·20=50+50+50;

Режимы работы электрических цепей

Различают три основных режима работы электрической цепи: рабочий режим, режим холостого хода (режим х.х.), режим короткого замыкания (режим к.з.)

На схеме источник ЭДС(Е) с внутренним сопротивлением R₀ , нагружен на переменное сопротивление R, при этом ключом К цепь можно включать и разрывать. Напряжение контролирует вольnметр V.

1. Режим холостого хода (х.х.).

Этому режиму соответствует разомкнутое положение ключа, ток цепи отсутствует, при этом очень незначительный ток вольтметра можно не учитывать. Показания вольтметра в этом случае будут указывать на величину ЭДС источника. Т.е. в режиме х.х. напряжение равно ЭДС..: U = E, ток отсутствует, т.е. I = 0, мощность не потребляется т.е. Р = 0, падение напряжения на внутреннем сопротивлении источника также отсутствует U₀ = 0;

2. Рабочий режим .

Ключ замкнут, через сопротивление протекает ток по величине не превышающий номинальный ток для данного сопротивления, его величина определится из закона Ома для всей цепи ; Откуда E = I(R+R₀) = U + U₀, где U = I·R – падение напряжения на сопротивлении нагрузки R, U₀ = I·R₀ – падение напряжения на внутреннем сопротивлении источника R_0,

В этом режиме будем иметь три вида мощности:

1) мощность развиваемую источником Р₁,

2) мощность потребляемую нагрузкой Р₂ (т.е. это тепло выделяемое на сопротивлении R),

3) мощность потерь, которая в виде тепла будет выделяться на источнике Р₀;

Каждая из этих мощностей зависит от силы тока

Р₁ = Е·I ;

Р₂ = I² ·R ;

Р₀ = I² ·R₀ ;

Между собой эти мощности связаны формулой баланса мощностей: Р₁ = Р₂ – Р₀, формула подтверждает частный случай закона сохранения энергии: мощность источника Р₁ расходуется на полезную мощность Р₂ и мощность потерь Р₀. Из этой формулы полезная мощность

Р₂ = Р₁ – Р₀ = Е·I – I² ·R₀;

3. Режим короткого замыкания (режим К.З.)

Это аварийный режим, который возникает в результате старения изоляции или ошибки персонала, например, ошибка студента из-за невнимательности при выполнении лабораторной работы. Режим К.З. может возникнуть, например, если по неосторожности замкнуть проводом или инструментом зажим «+» и зажим «–» на источнике, или, например, измеряя напряжение вольтметром, вместо проводов от вольтметра взять по ошибке провода от амперметра, обладающего очень малым сопротивлением. При таком режиме сопротивление нагрузки отсутствует т.е. R = 0 ( сопротивлением соединительных проводников пренебрегаем ввиду их малости) и ток может достигать очень значительных величин, создавая угрозу для персонала, а также может привести к выходу из строя аппаратуры. Величина тока к.з. будет ограничиваться только внутренним сопротивлением источника I_{к з} = Е/ R₀, при этом вся величина ЭДС источника будет приложена к своему собственному внутреннему сопротивлению R₀ и т.о. падение напряжения внутри источника будет равно ЭДС , т.е. U₀ = Е ,; Мощность нагрузки (полезная) Р₂ = 0, т.к.ток через нагрузку отсутствует, нагрузка оказывается зашунтированной, т.е. закороченной, при этом U = 0, Р₀ = I_кз² ·R₀,

Иногда режим К.З. вызывают искусственно, например, при испытании обмоток трансформаторов, при этом проводник создающий режим К.З. называется шунтом, однако такая операция выполняется на низком напряжении и требует длительной и сложной подготовки опытного персонала. В бытовых условиях из– за К.З. могут перегореть пробки, или может выбить автомат в распределительном шкафу. В любом случае такой режим недопустим и говорит о слабой подготовке персонала.