Преобразования галилея

В связи с относительностью движения часто возникает необходимость перехода из одной инерциальной системы отсчёта в другую. В классической механике такой переход осуществляется с помощью преобразований Галилея. Эти преобразования связывают между собой координаты какой-либо материальной точки в двух различных инерциальных системах отсчёта, когда скорости движения много меньше скорости света.

Пусть относительно инерциальной системы отсчёта K движется со скоростью  другая система отсчёта K. Для упрощения рассуждений предположим, что направления координатных осей Ox и Ox совпадают (рис. 1). Обозначим координаты точки M в системе отсчёта K в произвольный момент времени t через x, y, z, а координаты той же точки в системе отсчёта K — через x, y, z в тот же момент времени t. В классической механике считается, что время в любой инерциальной системе отсчёта течёт одинаково, т.е. t = t. Допустим, что в момент времени t = t = 0 начала координат совпадали, т.е. x = x = 0. Тогда, как видно из рис. 1, в момент времени t координаты материальной точки y = y и z = z, а абсциссы отличаются на отрезок OO = t. Отсюда преобразования Галилея при переходе от одной системы отсчёта к другой принимают вид:

Р

x

x

t x

x

z z

y

K

K

z=z

y= y

M

y



O

O

ис. 1

К  К К  К

(1) (2)

Следствия из преобразований галилея

Из преобразований Галилея вытекает ряд следствий.

1. Классический закон сложения скоростей. Пусть точка М движется с некоторой скоростью u относительно системы К. Какова скорость этой точки в системе К? Для ответа на этот вопрос продифференцируем уравнения (2) по времени: так как производная по t равна производной по t. Эти выражения можно переписать:

(3)

где , ,  проекции скорости материальной точки на координатные оси в системе отсчёта K, а , ,  проекции скорости той же точки на координатные оси в системе K. Умножая (3) на соответствующие координатные орты и складывая равенства, получаем: Тогда получаем:

(4)

Итак, скорость тела, одновременно участвующего в двух движениях, равна векторной сумме скоростей этих движений.

2. Ускорение в различных инерциальных системах отсчета. Дифференцируя уравнение классического закона сложения скоростей (уравнение (4) из предыдущей лекции) по времени, получаем: так как поскольку = const. Отсюда

(5)

Таким образом, ускорение в разных инерциальных системах отсчёта в классической механике является неизменной величиной. Величины, которые не меняются при переходе от одной системы отсчёта к другой, называются инвариантными.

3. Длина отрезка в различных инерциальных системах отсчёта. Длиной отрезка называют разность координат его конца и начала, измеренных одновременно. Пусть стержень расположен параллельно оси абсцисс и покоится в системе отсчёта K, которая движется относительно системы K со скоростью , причём оси абсцисс этих систем совпадают. Предположим, что длина стержня в системе K равна: где и  координаты начала и конца стержня. Найдём его длину l = x₂  x₁, где x₁ и x₂  координаты начала и конца стержня в системе отсчёта K, относительно которой он (вместе с системой отсчёта K) движется со скоростью . По определению длины отрезка с использованием преобразования Галилея (1) запишем, что так как координаты концов измеряются в один и тот же момент времени t. Итак,

l = l, (6)

т.е. в различных инерциальных системах отсчёта длина отрезка одинакова.