Основные законы алгебры логики

Переместительный закон:

a + b = b + а; ab = ba.

Сочетательный закон:

(a + b) + c = a + (b + c); (ab)c = a(bc).

Распределительный закон:

a(b + c) = ab + ac; a + bc = (a + b)(a +c).

Закон поглощения:

a + ab = a(1 + b) = a; a(a + b) = a + ab = a.

Закон склеивания:

ab + a = a; (a + b)(a + ) = a.

Закон отрицания:

или .

Логические элементы

Логические элементы используют в качестве значений входных и выходных напряжений лишь два уровня: высокий и низкий. Если логическому «0» соответствует напряжение низкого уровня, а логической «1» – высокого, то такую логику называют положительной, и наоборот, если за логический «0» принимают напряжение высокого уровня, а за логическую «1» – напряжение низкого уровня, то такую логику называют отрицательной. В транзисторно-транзисторной логике (ТТЛ) напряжение логического «0» U⁰ со­став­ляет десятые доли вольт (менее 0,4 В), а напряжение логической «1» U¹ > 2,4 В. Логические элементы реализуют простейшие функции или систему функций алгебры логики.

Простейшей функцией алгебры логики является функция НЕ. Она реализуется с помощью инвертора, условное графическое обозначение которого приведено на рис. 5.1. На вход инвертора подается величина X, которая может принимать два значения: «0» и «1». Выходная величина Y при этом тоже принимает два значения: «1» и «0». Взаимно однозначное соответствие X и Y дается таблицей истинности (табл. 5.1), причем значение выходной величины Y зависит не от предыдущих значений, а лишь от текущего значения входной величины X: Y = .

Это справедли­во для всех логических элементов, не имеющих памяти, у кото­рых в таблице истинности значение Y не зависит от порядка строк.

Таблица 5.1 Таблица истинности инвертора
0	1
1	0

Рис. 5.1. Условные обозначения

инвертора

Логическими элементами, реализующими функции логиче­ского сложения и логического умножения, являются элементы ИЛИ и И. Таблицы истинности для этих элементов однозначно связывают значение выходной величины Y со значениями двух (или более) входных величин х_l, х₂, ... x_n. Условные графические обозначения (УГО) логических эле­ментов ИЛИ и И приведены соответственно на рис. 5.2 и 5.3, а их таблицы истинности – это таблицы 5.2 и 5.3. Например, для логи­ческого элемента 2–ИЛИ, реализую­щего дизъюнкцию, Y = х_l + х₂ или Y = х_l  х₂, а для элемента 2–И, реализую­щего конъюнкцию, Y = х_l  х₂ или Y = х_l  х₂.

На наборе логиче­ских элементов И, ИЛИ, НЕ можно реализовать любую сложную логи­ческую функцию, поэ­тому данный набор элемен­тов на­зывают функциональ­но пол­ным.

Таблица 5.2 Таблица истинности элемента 2–ИЛИ
0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	1

Рис. 5.2. УГО элемента 2–ИЛИ

Таблица 5.3 Таблица истинности элемента 2–И
0	0	0
0	1	0
1	0	0
1	1	1

Рис. 5.3. УГО элемента 2–И

На практике часто используется расширенный набор логических элементов, позволяющих также составлять функционально полные системы. К ним относятся элементы:

• Таблица 5.4 Таблица истинности элемента 2–ИЛИ–НЕ и 2–И–НЕ
  0	0	1	1
  0	1	0	1
  1	0	0	1
  1	1	0	0

  ИЛИ–НЕ (элемент Пирса), реализующий функцию ;

• И–НЕ (элемент Шеффера), реализующий функцию .

Их обозначения и таблицы истинности приведены на рис. 5.4 и в таблице 5.4.

Рис. 5.4. УГО элементов 2–ИЛИ–НЕ и 2–И–НЕ

В частности, функционально полные системы могут состоять из эле­мен­тов только одного типа, например реализующих функцию И–НЕ либо ИЛИ–НЕ.

Комбинационные логические цепи – это такие цепи, выходные сигналы которых однозначно определяются сигналами, присутствующими на их входах в рассматриваемый момент времени и не зависят от предыдущего состояния.

Набор логических элементов, входящих в состав учебного стенда по основам цифровой техники, не содержит элементов, реализующих функцию ИЛИ–НЕ, что ограничивает число вариантов построения логических схем при их синтезе и позволяет составлять схемы только в базисе элементов И–НЕ.

Прежде чем перейти к вопросам анализа и синтеза логических устройств в заданном базисе элементов (И–НЕ), необходимо составить таблицу, в которую будут сведены все возможные формы представления выходных сигналов указанных элементов при условии, что на их входы поданы логические переменные х_l и х₂. При синтезе схем можно использовать два технических приема: двойное инвертирование входного исходного выражения или его части и применение теорем де Моргана. При этом функция преобразуется к виду, содержащему только операции логического умножения и инверсии, и переписывается через условные обозначения операции И–НЕ и НЕ.

Последовательность проведения анализа и синтеза комбинационных логических цепей:

1. Составление таблицы функционирования логической цепи (таблицы истинности).

2. Запись логической функции.

3. Минимизация логической функции и преобразование ее к виду, удобному для реализации в заданном базисе логических элементов (И–НЕ, НЕ).