Вопрос 5: расчеты при начислении простых процентов

Простые процентные вычисления применяются в финансовых обязательствах, как правило, на срок не более года. При простых процентах расчёты производятся исходя из постоянной базы, в качестве которой выступает первоначальная сумма долга. При заключении договора займа стороны договариваются о размере процентов. Существуют различные методы начисления и присвоения процентов.

Процентной ставкой называется отношение суммы процентных денег, выплачиваемых в единицу времени к величине займа. Ставка выражается в виде десятичной или натуральной дроби или в процентах. Если за базу начисления процентов берется первоначальная сумма долга и начисленные проценты присоединяются к этой сумме в конце срока займа, то для расчета применяется ставка процентов. Примерами являются начисление процентов за кредит, за вклад в сберкассе, на счет в банке. Если при начислении процентов за основу берется сумма, которая уплачивается должником, в этом случае применяется учетная ставка и проценты удерживаются при выдаче ссуды. Интервал времени между начислениями процентов называют периодом начислении.

Наращенная сумма (S) представляет собой первоначальную её сумму вместе с начислениями на неё процентами к концу срока. Она определяется путём умножения начальной суммы на множитель наращивания. Наращенная сумма (формула простых процентов) рассчитывается следующим образом:

,

где S – наращенная сумма долга;

Р – первоначальная сумма долга;

– проценты за весь срок ссуды;

n – общий срок ссуды (число периодов начисления);

i – ставка процентов за период;

– множитель наращивания простых процентов.

Величина процентной ставки исчисляется по формуле:

.

Если величина расчетного периода принимается за 360 дней, то такие проценты называются обыкновенными или коммерческими; если 365 дней – то точными.

При сроке ссуды менее года необходимо определить, какая часть годового процента уплачивается кредитору. Выразим величину n в виде дроби:

,

где t – число дней ссуды;

k – число дней в году или временная база.

Тогда наращенная сумма примет следующий вид:

.

Из данной формулы выразим срок ссуды:

.

Тогда величина процентной ставки будет определяться по формуле:

.

В том случае, если ставка процентов меняется во времени, наращенная сумма будет рассчитываться по формуле:

,

где i – ставка простых процентов в периоде r;

n – продолжительность периода.

Вопрос 6: расчеты при начислении сложных процентов

В среднесрочных и долгосрочных финансово-кредитных операциях, если проценты не выплачиваются сразу после их начисления, а присоединяются к сумме долга, для наращивания применяются сложные проценты. В соответствии с этим процесс роста первоначальной суммы происходит с ускорением. Ускорение вызвано тем, что на каждом этапе во времени начисленные проценты присоединяются к сумме, которая служила базой для их определения. Такой процесс получил название капитализация процентов.

Наращивание по сложным процентам можно рассматривать как последовательное реинвестирование средств, вложенных под простые проценты на один период начисления.

Предположим, что проценты капитализируются один раз в год (годовые проценты) на протяжении n лет. В конце первого периода проценты равны величине , а наращенная сумма будет равна:

К концу второго года она достигнет величины:

и т. д.

В конце n – года наращенная сумма по сложным процентам станет равной:

.

Проценты за этот период будут увеличиваться с каждым годом и составят:

.

Величина называется множителем наращивания сложных процентов. Значения данного множителя для целых чисел n приводятся в таблицах сложных процентов для n, равных от 1 до 50, 60, 70, 80, 90, 100 лет. В случае если n > 50 и является целым числом, то искомую величину находят как произведение табличных значений для и .

В том случае, если n не является целым числом, применяется наращивание по смешанным процентным ставкам, которое определяется по следующей формуле:

,

где - целое число дат;

- дробная часть года.

Сопоставляя формулы наращивания по простым и сложным процентам, можно сделать следующие выводы:

1. Если n < 1, то > - сложные проценты меньше простых процентов;

2. Если n = 1, то = - сложные проценты равны простым процентам;

3. Если n > 1, то < - сложные проценты больше простых процентов.

6