3.2. Производная функции
Основные правила нахождения производной
1)
Если
,
то
.
2)
,
где
.
3)
.
4)
.
5)
.
6)
Если
и
,
то
(производная обратной функции).
7)
Если
,
то
,
(производная параметрически заданной
функции).
8)
Если имеется сложная функция
,
то
(производная сложной функции).
9)
Если переменные
и
связаны функциональным соотношением
,
так, что
не выражено явно через
,
тогда находят производные левой и правой
части равенства
по отдельности, учитывая, что
зависит от
и, приравнивая производные, получают
новое равенство, из которого определяется
(производная неявной функции).
Таблица производных основных элементарных функций:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
|
7.
8.
9.
10.
11.
|
12.
13.
14.
15.
16.
17.
|
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Пример
1. Найти
производную функции
.
Решение.
.
Пример
2. Найти
производную функции
.
Решение.
.
Пример
3. Найти
производную функции
.
Решение.
.
Пример
4. Найти
.
Решение.
Чтобы найти
производную функции типа
,
поступают так:
вначале логарифмируют данное равенство
,
затем находят производные от обеих частей полученного равенства, приравнивая их:
.
Получают:
,
или
.
Учитывая,
что
,
имеем:
.
Дифференцируя это равенство, получаем:
;
;
;
.
Пример 5. Найти , если переменные и связаны соотношением:
.
Решение. Явно выразить одну из переменных через другую невозможно, поэтому находим производные левой и правой частей данного равенства и приравниваем их:
,
далее имеем:
;
.
Перенося
слагаемые, содержащие
,
в одну часть равенства (вынося
за скобку), а остальные слагаемые – в
другую и деля на коэффициент при
,
получаем:
.
Вторая
производная функции – это производная
от первой производной:
,
и вообще,
-я
производная – это производная от
-й
производной, а именно:
.
Пример
6. Найти
и
для функции
.
Решение
.
.
Для
случая параметрического задания функции
,
имеем:
,
.
Пример
7. Найти
и
для функции, заданной параметрически:
.
Решение
;
;
;
;
;
.
3.3. Дифференциал функции
Пример
1. Найти
.
Решение.
Напомним, что
.
Найдем
,
тогда
дифференциал
.
Пример
2. Вычислить
приближенно: а)
;
б)
;
в)
.
Решение.
Используем
формулу:
.
а)
Рассмотрим функцию
;
возьмем
,
тогда
.
Имеем:
;
.
Итак,
.
б)
Рассмотрим функцию
и возьмем:
;
.
Тогда:
;
.
в)
.
Вычислим
.
Обозначим:
;
;
;
тогда
.
Следовательно,
.
3.4. Наибольшее и наименьшее значение функции
Пример 1. Найти наибольшее и наименьшее значения функции
на
отрезке
.
Решение.
Найдем
критические точки (подозрительные на
экстремум) функции из условия, что
или
не существует:
,
во
всех точках существует,
,
когда
.
Раскладывая левую часть на множители, получаем:
,
отсюда
находим критические точки:
,
,
.
Из
этих точек отрезку
принадлежат только две:
и
.
Найдем значение функции в этих точках
и на концах отрезка, т.е. при
и
:
;
;
;
.
Итак,
получили
,
.
Пример 2. Найти наибольшее и наименьшее значения функции
на
отрезке
.
Решение.
,
определена во всех точках;
при
.
На отрезке
при
.
Имеем
три точки:
,
,
,
в которых могут достигаться наибольшее
и наименьшее значения.
;
;
.
Итак,
,
.
Среди многих применений производной функции одного переменного важное значение имеет решение так называемых задач на максимум (минимум).
Пример
3. Найти
прямоугольный треугольник наибольшей
площади, у которого сумма катета и
гипотенузы равна
.
Решение.
Обозначим
один из катетов треугольника через
,
тогда гипотенуза будет равна
,
а другой катет, по теореме Пифагора
будет равен:
.
Площадь
треугольника
,
так как
должна быть максимальной, то
или
не существует. Находим производную:
.
не
существует, если
,
но тогда катет окажется равным гипотенузе,
что невозможно.
,
если
.
Тогда
,
гипотенуза будет равна
;
т.е.
,
где
–
угол, прилежащий к катету
.
Значит,
;
другой угол будет
.
В этой точке:
,
при
имеем:
,
значит, это действительно точка максимума.
Искомый
треугольник – это прямоугольный
треугольник с углами
,
и сторонами
,
и
.
Пример 4. Из трех одинаковых досок изготовить симметричный желоб с наибольшей площадью поперечного сечения.
Решение.
Ширину данных
досок обозначим через
.
Поперечное сечение изображено на рис.
3. 1.
О
бозначим
через
угол
(
),
тогда
,
.
Площадь поперечного сечения (площадь трапеции) будет:
.
Наибольшее
значение эта функция принимает в точке
максимума, а необходимым условием того,
что точка
является точкой максимума функции
,
является то, что
или
не существует. Найдем точку максимума:
,
но
всегда существует. Точки, в которых
,
находятся из уравнения:
.
Тогда
или
.
Если
,
то
,
но в этом случае никакого желоба не
получится, так как
.
Остается случай, когда
,
тогда
,
так как
.
Проверим,
является ли эта точка точкой максимума
.
Найдем
:
.
Значит,
действительно точка максимума:
.