19. 3. 1. Замысел Фреге.

Существует довольно много трактовок того, что было источником философской и математической мысли Фреге. Вот в каком ключе излагают, например, свою трактовку связей творческих установок Г. Фреге с философскими и математическими идеями его времени авторы работы "Frege: Logical Excavations" - 'Фреге: логические раскопки' Бэкер и Хэкер .

Авторы указанной работы выводят все философские, математические и лингвистические интересы Фреге из идеи создать основания математики. Действительно, на первых этапах своей математической карьеры Фреге двигался вполне в русле общепринятых в те времена математических интересов. А математика в начале карьеры Г. Фреге переживала первый серьезный кризис, касавшийся ее святая святых - логических оснований. Многие историки математики отмечают, что весь XIX в. математики занимались доказательством и обоснованием тех результатов, которые были получены предшествующими поколениями. Однако чем дальше продвигались математики в испытании логической прочности своей теории, тем с большими проблемами и сомнениями они сталкивались. К 60-м годам XIX в. в геометрии Карлом Фридрихом Гауссом (1777 - 1855), Николаем Ивановичем Лобачевским (1792 - 1856), Яношем Бояи (1802 - 1860) были получены результаты, поколебавшие уверенность математиков в том, что можно полагаться на пространственную интуицию, как на источник познания в описаниях реального мира. Успехи комплексного анализа и аналитической геометрии привели к подтверждению правомерности неевклидовой геометрии и доказательству ее теорем с помощью исчисления на базе комплексных чисел. Бернхарду Риману (1826 - 1866) удалось построить теорию ментальных объектов со свойствами более абстрактными, чем 3-х мерное пространство. Пространство получило возможность иметь сколько угодно измерений. Стало понятно и то, что пространственная интуиция не может служить основанием для исследования пространства. Все это привело к дестабилизации уже укрепленного было фундамента математики, к новому вопросу о том, каковы же ее логические основы. В годы учения в Йенском и Гёттингенском университетах Фреге выбрал в качестве математических курсов курсы по теории функций с комплексным переменным. Он начал слушать подобный курс в Йене у Аббе и затем продолжил слушать сходный курс у Шеринга в Гёттингене. Из философских курсов он слушал курсы знаменитого Куно Фишера (1824 - 1907) в Йене и Германна Лотце (1817 - 1881) в Гёттингене. И тот и другой были густо начинены идеями Лейбница.

В 1873 г. ученому совету философского факультета в Гёттингене была представлена выпускная работа на соискание докторской степени Готтлоба Фреге из Висмара на тему "О геометрическом представлении мнимых величин на плоскости. Отпечатана диссертация была, правда, в Йене. В ней насчитывалось 75 страниц, посвященных защите кантианской концепции о соответствии геометрических представлений интуиции и направленных против утверждения о том, что отображение геометрических понятий с помощью комплексных величин и комплексных величин с помощью геометрических понятий противоречит интуиции. Следующая его работа (1874 г.) на соискание venia docendi, звания, позволявшего ему читать лекции в университете, была посвящена опровержению тезиса того же Канта о том, что законы арифметики носят синтетический характер, т. е. не должны анализироваться как интуитивная база теории. В этой работе Фреге показал, что законы арифметики опираются на то, как мы понимаем термин "величина", и не зависят от интуиции. Однако следующая его работа, написанная всего через пять лет, уже не имеет ничего общего с общепринятым направлением математической мысли. За это короткое время Фреге сделал немыслимый скачок, поставивший его вне всяких направлений как в математике, так и в философии. Трудно сказать, при этом, зародилась ли у него идея этой новой работы в процессе работы над последней темой или она сформировалась у него раньше, но это уже была часть реализации новой глобальной задачи, не связанной теперь уже с идеями Канта, но теснейшим образом связанная с идеями Г. В. Лейбница. Вот как представляют переход к ней Бэкер и Хэкер (Backer&Hacker 1984, Ch. 1-2).

Первоначально интерес Фреге сводился к тому, чтобы установить, что является логическим основанием арифметики, в частности ответить на вопрос, является ли комплексный анализ независимым от интуиции. Для этого, как он полагал, он должен был ограничить и формализовать процедуру надежного доказательства, используемого математиками для того, чтобы надежно определить общность предпосылок, от которых зависит доказательство любой теоремы арифметики. По его мнению, самым надежным методом доказательства являлся чисто логический, так как он не зависит от материала и основан только на том, на чем основаны законы, на которых покоится знание. Следовательно, прежде всего он должен выявить законы логики и заложить основы правильного вывода. Это и было его основной задачей в работе, о которой идет речь, т. е. в "Алфавите понятий" (Begriffsschrift - Frege 1879).

Это объяснение исходных целей и задач Фреге вызывает целый ряд глубоких сомнений. Первое из них вызывает странное название: "Алфавит понятий, формальный язык представления мысли, построенный по аналогии с арифметическим" ("Begriffsschrift, eine der arithmetischen nachgebildete Formelsprache des reinen Denkens"). Оно уводит нас из области чистой математики в сферу даже не логики, а ... искусственных языков. В самом деле, Begriffsschrift буквально переводится как "понятийный алфавит". Это название перекликается с одной стороны с идеями Бэкона с его мечтой создать такой алфавит, который бы сам собой, без обращения к смыслу отображал то, что он обозначает, а обозначать он должен был набор первичных, неразложимых далее идей, комбинации которых могут покрыть все то поле сложных понятий, которые уже были изобретены человечеством или еще только будут изобретены. Перекликается это название и с изложенными выше идеями Р. Декарта, за которыми следил и охотился Г. В. Лейбниц (листок с той самой выдержкой из письма Декарта к Мерсенну, которая была приведена выше, был найден среди его бумаг), и с идеями самого Г. В. Лейбница и его lingua sive characteristica universalis. Отмечу при этом, что поиски Ф. Бэкона, Р. Декарта, а затем и Лейбница, в общем, были направлены на то же, на что в IV в. до р. Х. были направлены увенчавшиеся успехом поиски индийского монаха Панини - на открытие формы или метаязыка для описания абсолютного знания (veda:nam veda), хотя надо признаться, что осознавали европейцы свою цель гораздо менее четко, чем индийский мыслитель.

Мне представляется, во-первых, что Фреге был человеком одной задачи; он поставил ее (и поставил гениально) в самом начале своего творчества и решал ее всю жизнь; мне представляется, во-вторых, что задачу эту он унаследовал от Г. В. Лейбница, и задача эта состояла в том, чтобы создать универсальный искусственный язык науки, который бы позволил устранить границы между различными научными дисциплинами, который бы позволил создать единую научную методологию, затем - единое концептуальное пространство мировой культуры. Указание на то, что дело обстояло именно так, а не так, как это было представлено П. М. Хэкером и Дж. П. Бэкером, обнаруживаются в текстах самого Фреге. Ключом к выявлению этого первоначального замысла является следующая выдержка из его неопубликованной при жизни работы: "Лейбниц рассеял в своих сочинениях такое количество концептуальной рассады (Gedankenkeimen), по которому с ним вряд ли может сравниться кто-либо другой. Часть его идей получила свое развитие уже при его жизни при полной его поддержке, другая часть была предана забвению, позже заново открыта и развита далее. Вправе на ожидание подобного развития еще та большая часть его рукописей, которая сейчас кажется мертвой, погребенной под могильными холмами, но которая когда-нибудь отпразднует свое воскресение. К идеям такого рода я отношу и ту, которую Лейбниц с большим упорством вынашивал всю свою жизнь, а именно идею lingua characterica [в настоящее время язык, который разрабатывал Лейбниц, принято называть lingua characteristica (universalis); и это название, и название, которое использовал Фреге, идут не от самого Лейбница (он называл его lingua sive characteristica universalis); немецкий философ Г. Патциг выдвинул гипотезу, по которой источником названия языка Лейбница для Фреге послужили "Очерки по истории философии" Ф. А. Тренделенбурга], которая у него была тесно связана с идеей о calculus ratiocinator" (Фреге 1973, с. 172). И далее: "В своей небольшой работе (Begriffsschrift - А. Б.) я сделал очередную (в истории науки, жирный курсив мой - А. Б.) попытку приблизиться к идее lingua characterica" (Фреге 1973, с. 174). Еще более определенно высказывается Фреге на эту тему в другой неопубликованной при жизни работе "Логическое исчисление Буля и "Алфавит понятий". "Теперь следует изложить цель моей работы "Алфавит понятий". Я с самого начала настраивался на разработку языка для выражения произвольного содержания (жирный курсив мой - А. Б.). Конечной целью моих устремлений является создание не исчисления, ограниченного рамками чистой логики, а чего-то, подобного lingua characterica, прежде всего для математики (жирный шрифт мой – А. Б.)" (Фреге 1973, с. 177).

Подобное понимание задачи, которую с самого начала ставил перед собой Фреге, не является общепринятым среди исследователей творческого наследия ученого. Эта задача не просматривается ни в изложении творческой биографии Фреге в издании его неопубликованных работ, ни в многочисленных изданиях его работ, опубликованных при жизни. Обычная трактовка, принадлежавшая, правда, как уже было сказано, логикам и математикам, сужает первоначальный проект всей жизни Фреге до математических, в крайнем случае, логико-математических рамок. Между тем, вряд ли случайным является мистическое совпадение года выхода таких различных трудов, как описание воляпюка, создание первого варианта эсперанто, выход "Begriffsschrift" и статьи о возрождении иврита Бен Иегуды. Вряд ли случайным является и тот факт, что почти все, кто стоял у истоков математической логики, не просто интересовались, но активно занимались теорией и практикой создания искусственных языков: Шрёдер был автором истории пазиграфий, Пеано был одним из активистов воляпюкистского, а затем и эсперантистского движения, историк логики Кутюра, переписывавшийся с Фреге, как, впрочем, и Пеано, был также активистом этих движений. Волна экспериментов над языком, имевшая своим пиком 1879 г., закончилась после первой мировой войны, и людям, которые жили после этого рубежа эпох, довольно трудно понять, какое место занимала в сознании ученых того времени тема искусственных языков. Только из-за того, что вдова Кутюра легкомысленно выбросила всю его переписку после его безвременной смерти, мы не знаем ответа на вопрос, насколько глубоко интересовался Фреге проблемами искусственных языков. В чудом сохранившихся письмах Кутюра к Фреге есть прямые вопросы, касающиеся этой темы. Известно, что Фреге ответил на вопросы Кутюра, неизвестно лишь, как.

Судя по приведенным выше цитатам, план, который немецкий математик построил себе на всю жизнь, выглядел следующим образом: ему импонировала идея Лейбница о создании mathesis universalis и о создании lingua characterica, однако он считал, что эту сложную задачу следует разбить на подзадачи по принципу разделения предметных областей.

В центре всех наук, по мнению Фреге, лежит математика, основой математики является арифметика, однако формальная система утверждений, методов, с помощью которых можно описать арифметику не является и не должна быть специфичной только для арифметики. Логика является той универсальной системой представления мысли, которая годится для описания объекта любой науки. Следовательно, первый язык, который следует разработать, является язык чистой мысли, охватывающий предметную область логики. Выше уже упоминалась мысль о том, что строить замкнутые аксиоматические системы научил европейцев Евклид и что его первая аксиоматическая система послужила для европейской науки идеалом логической конструкции при описании конкретной области знания. Однако уже Лейбниц находил у Евклида неточности в языке, с помощью которого описывалась сама система.

Фреге пошел еще дальше. Он обнаружил и показал, что естественный язык вообще не удовлетворяет тому уровню точности формулировок, который требовался для решения поставленной им задачи. С другой стороны, единственным примером строгого языка, на базе которого Фреге мог построить свой искусственный язык, был язык математики. К моменту, когда молодой математик поставил себе указанную выше сверхсложную задачу, в математике уже все было готово, для того, чтобы эту задачу, по крайней мере, можно было бы начать решать. Для того, чтобы решать подобные задачи, математический язык должен был быть, во-первых, предметно расширен, т. е. число, как единственный объект, на котором ранее работали математические утверждения должно было быть заменено на объекты произвольной природы (множества); во-вторых, должен был появиться такой раздел математики, который бы позволил увязать основные элементы языка математики с базовыми элементами естественного языка.

Первая цель была достигнута благодаря постепенному введению в ее рассмотрение все новых и новых математических сущностей, таких как, например, комплексные числа, гамильтоновы гиперкомплексные числа (кватернионы), затем объектов булевой алгебры, которые уже и не были собственно числами, а затем и вовсе множеств объектов произвольной природы (теория множеств, разработанная Кантором).

Вторая цель также была достигнута, поскольку в то время уже была разработана теория функций. Фреге удалось показать, что понятие функции имеет важное сходство с собственно идеей понятия: и то, и другое обладает свойством ненасыщенности, и у того и у другого есть аргументная структура. Это позволило Фреге обратить внимание на применимость и самого понятия функции и многих других понятий математики к описанию структуры означаемого языковых единиц.

Однако главным рывком, который должен был сделать Фреге, был рывок в области структуры знака - области семиотики, как науки тогда еще не существовавшей, и здесь, как я считаю, Фреге сделал гораздо больше, чем его старший современник Ч. С. Пирс, больше уже потому, что задача, которую он перед собой ставил, была шире и глубже той, которую поставил перед собой Пирс. Фреге не просто вводил семиотические понятия (правда, без введения самого понятия семиотики), он разрабатывал и приемы их введения и правила обращения с этими понятиями.