6. Покой жидкости под действием силы тяжести; Физический смысл основного закона гидростатики поверхности равных давлений

Поверхность, во всех точках которой значения гидростатичес­кого давления равны между собой, называют поверхностью рав­ного давления или поверхностью уровня. На по­ложение уровня свободной поверхности влияют силы тяжести и инерции.

Найдем величину равного давления Р по трем частным произ­водным. При Р=const и р # 0 значение полного дифференциала dP=0 и, следовательно, уравнение поверхности жидкости равного давления имеет вид

Это уравнение называется уравнением поверхности жидкости равного или постоянного давления. Рассмотрим наиболее часто встречающиеся случаи.

Первый случай, когда на покоящуюся жидкость действует одна внешняя сила, сила тяжести, тогда , , (на­правление ускорения свободного падения не совпадает с положи­тельным направлением оси Z). В этом случае исходное уравнение имеет вид

или

т. е. получаем поверхности равного давления, представляющие собой семейство горизонтальных плоскостей. Каждому значению Z соответствует плоскость, точки которой имеют определенное постоянное значение давления. Свободная поверхность жидкости (для ограниченного объема), в данном случае—одна из плоско­стей равного давления. Имеем в виду, что свободная поверхность — это поверхность на границе жидкой и газообразной сред. На свободную поверхность будет приложено постоянное давление равное атмосферному.

С начала рассмотрим простейший случай покоя. Жидкость находится под действием силы тяжести. Это означает, что проекции ускорений на оси X и Y отсутствуют. Единственным ускорением является ускорение свободного падения g, т. е.:

, , .

Тогда полный дифференциал давления после подстановки в него ускорений примет вид:

.

После интегрирования этого выражения получим:

.

Постоянную интегрирования, равную

^,

найдём, подставив параметры свободной поверхности и .

После подстановки этих значений в интеграл P будем иметь равенство:

Переписав это выражение в другом виде, получим

Если обозначить (Z₀ - Z) через h, то приведённое равенство примет уже знакомый вид основного уравнения гидростатики

.

Из этого же равенства можно получить следующий вид

,

или

Последнее выражение часто называют основным законом гидростатики.

Физический смысл основного закона гидростатики

Физический смысл основного закона гидростатики – закон сохранения энергии для покоящейся жидкости, который говорит о том, что механическая энергия любой частицы жидкости одинакова.

В этом выражении:

- потенциальная энергия единицы веса жидкости, определяемая положением над нулевой линией,

- потенциальная энергия единицы веса жидкости, зависящая от степени её сжатия.

В геометрической интерпретации константу обозначают буквой H и называют гидростатическим напором, а саму формулу записывают в виде:

Слагаемые основного закона гидростатики в этом случае называют:

- нивелирная высота,

- пьезометрическая высота.

Второй случай, когда поверхность равного давления может быть наклонной. Например, свободная поверхность бензина в железнодорожной цистерне, движущейся горизонтально с уско­рением а (рис)

В этом случае единичная масса жидкости находится под действием силы тяжести Z= -1 *g и горизонтального ускорения силы инерции Х= -1*а (к цистерне приложена си­ла с ускорением а, а к жидкости—такая же по величине сила инерции с ускорением - а).

Составляющие массовых сил в уравнении получают значения:

Из вышеизложенного следует, что свободная поверхность бен­зина в цистерне представляет собой плоскость с углом наклона

Уравнение в этом случае примет вид

После интегрирования получим зависимость распределения давления в любой точке цистерны с бензином:

Из этого выражения следует, что наибольшее давление будет в точке z=0 и максимальным отрицательным значением х.