3.3.2 Статистические средние показатели

Средняя статистическая величина – это типичная (обобщенная) характеристика, отражающая суть социально-экономического явления.

Существуют следующие виды статистических средних величин:

Степенные средние величины

- гармонические

- геометрические

- арифметические простые и взвешенные

- квадратические

- кубические

- биквадратические

и т.п.

Структурные средние

- мода

- медиана

- квартиль

- квинтиль

- дециль

- перцентиль (персентиль)

- и др.

Показатели вариации

- среднее линейное отклонение

- среднее квадратическое отклонение

- дисперсия

- коэффициент вариации

Средние индексы

- среднеарифметический индекс

- среднегармонический индекс

- среднегеометрический индекс

- индекс переменного состава

- индекс постоянного состава

- индекс структурных сдвигов

Средние показатели ряда динамики

- средний уровень

- средний абсолютный прирост

- средний коэффициент роста

- средний коэффициент прироста

- средний темп роста

- средний темп прироста

Другие виды средних показателей

- хронологическая средняя - антигармоническая средняя

- средняя ошибка выборки

• и др.

Степенные средние величины получили свое название по виду функции, используемой для их расчета. Если значения признаков в статистической совокупности не повторяются, степенную среднюю величину вычисляют в простой форме - это простая степенная средняя, при повторяющихся значениях – во взвешенной форме. Количество повторяющихся значений одного и того же признака ( Х _i ) называется его весом (f ).

Простая степенная средняя величина рассчитывается по формуле

Х^пр степ. = ( ) , (3.12)

где k – показатель степени средней величины.

При k = - 1 по данной формуле рассчитывают гармоническую среднюю величину (Х гарм.).

Е сли k 0 , на основе теории пределов по данной формуле определяют геометрическую среднюю величину ( Х геом. ).

Далее при k = 1 находят арифметическую среднюю, при k = 2 - квадратическую , при k = 3 - кубическую, при k = 4 - биквадратическую и т.д.

Если одно и то же значение признака встречается несколько раз, рассчитывают взвешенную среднюю величину:

Х^взв степ. = (∑ x f / ∑f ) , (3.13)

где f - это вес (частота значений признака x ).

Гармоническая средняя применяется если:

1 ) осредняемый признак является мерой времени и выражен в секундах и минутах.

2 ) осредняемая величина задана в виде функции неявного вида.

= , (3.14)

где n – количество единиц в совокупности.

= , (3.15)

где М = x f ,

Геометрическая средняя применяется при нахождении средних темпов или коэффициентов роста, т. к. она показывает во сколько раз в среднем одна величина в упорядоченной совокупности больше (или меньше) другой.

= , (3.16)

где n – число сомножителей (осредняемых значений признака).

= (3.17)

Арифметическая средняя определяется по формулам:

(3.18)

(3.19)

Квадратическая средняя используется в тех случаях, когда осредняемая величина x задана в виде квадратической функции.

(3.20)

(3.21)

Кубическая средняя применяется, если осредняемая величина задана в виде квадратической функции.

(3.22)

(3.23)

Средние показатели структуры

Мода (Мо) — это наиболее часто встречающееся значение признака в статистической совокупности или значение варианты с наибольшей частотой. В дискретных и интервальных рядах моду рассчитывают по разному.

В дискретных вариационных рядах мода – это признак, которому соответствует наибольшая частота.

В зависимости от того, равны интервалы между собой или нет, применяют тот или иной подход к определению моды. Для определения моды в интервальных вариационных рядах с равными интервалами сначала по наибольшей частоте находят модальный интервал, затем рассчитывают моду по формуле:

, (3.24)

где – начало модального интервала,

– длина модального интервала,

– частоты интервалов, стоящих перед модальным, модального и после модального.

Для получения более полной характеристики вариационного ряда помимо средней величины и моды рассчитываются так называемые структурные показатели. К ним относятся медиана, квартили, децили и перцентили.

Медианой (Me) является значение варианты, находящейся в центре упорядоченной по возрастанию значений признака совокупности. Медиана делит вариационный ряд на две равные части. При этом 50% единиц совокупности имеют значение меньше медианного, а 50% - больше медианного.

В дискретном ряду распределения медиана находится по номеру. Номер медианы находится по формуле:

, (3.25)

где n – число единиц в совокупности.

При четном количестве единиц в совокупности медиана получается путем расчета средней арифметической из двух рядом стоящих значений признаков.

В интервальном ряду распределения медиана рассчитывается по формуле:

, (3.26)

где - начало медианного интервала,

– длина медианного интервала,

– сумма накопленных частот до интервала, в котором находится медиана,

– частота медианного интервала.

К показателям структуры относятся квантили.

Квантили — это показатели, которые делят вариационные ряды на равные по численности единиц части. Квартили делят упорядоченный вариационный ряд на четыре равные части: первый квартиль является значением, которого не превышают 25% единиц совокупности, второй квартиль - 50% (он совпадает с медианой), третий— 75%.

Квинтили делят упорядоченный вариационный ряд на пять равных частей, децили - на десять равных частей. Пятый дециль совпадает с медианой и вторым квартилем.

Перцентили делят упорядоченный вариационный ряд на сто равных частей.