1.4 Ранжирование выборочных данных, вычисление моды и медианы

Используя исходные данные, записываем все заданные значения выборки в виде неубывающей последовательности значений случайной величины Х. Данный ранжированный ряд представлен в таблице 4.1.

Таблица 1.4.1.

Ранжированный ряд

Исходные данные

1	11,38	16	12,39	31	12,96	46	13,84
2	11,62	17	12,44	32	12,98	47	13,95
3	11,65	18	12,46	33	13,04	48	14,12
4	11,69	19	12,5	34	13,05	49	14,16
5	11,78	20	12,51	35	13,06	50	14,22
6	12	21	12,58	36	13,1	51	14,24
7	12,04	22	12,67	37	13,29	52	14,42
8	12,05	23	12,67	38	13,37	53	14,44
9	12,09	24	12,82	39	13,38	54	14,49
10	12,09	25	12,83	40	13,38	55	14,7
11	12,1	26	12,84	41	13,52	56	14,74
12	12,1	27	12,85	42	13,53	57	14,81
13	12,14	28	12,87	43	13,71	58	14,82
14	12,21	29	12,88	44	13,74	59	14,97
15	12,33	30	12,95	45	13,83	60	15,37

Интервал [11,38;15,37] содержащий все элементы выборки, разобьём на частичные интервалы, используя при этом формулу Стерджеса для определения оптимальной длины и границ этих частичных интервалов.

По формуле Стерджеса длина частичного интервала равна:

h= X_max - X_min = 3,99 = 0,7296 ≈ 0,6

1+ 3,322lgN 6,91

Для удобства и простоты расчетов выбираем h= 0,6 и вычисляем границы интервалов.

За начало первого интервала принимаем значение

Х_о = X_min – h/2 = 11,38 – 0,3 = 11,08

Далее вычисляем границы интервалов.

Х₁ = Хо + h = 11,08 + 0,6 = 11,68

Х₂ = Х₁ + h = 11,68+ 0,6 = 12,28

Х₃ = Х₂ + h = 12,28+ 0,6 = 12,88

Х₄ = Х₃ + h = 12,88+ 0,6 = 13,48

Х₅ = Х₄ + h = 13,48+ 0,6 = 14,08

Х₆ = Х₅ + h = 14,08+ 0,6 = 14,68

Х₇ = Х₆ + h = 14,68+ 0,6 = 15,28

Х₈ = Х₇ + h = 15,28+ 0,6 = 15,88

Вычисление границ заканчивается как только выполняется неравенство Х_п >Х_max

то есть Х₈ = 15,88> Х_max = 15,37

По результатам вычислений составляем таблицу. В первой строке таблицы помещаем частичные интервалы, во второй строке – середины интервалов, в третьей строке записано количество элементов выборки, попавших в каждый интервал – частоты; в четвертой строке записаны относительные частоты и в пятой строке записаны значения плотности относительных частот или значения выборочной, экспериментальной функции плотности.

По результатам вычислений функции плотности, представленной в Таблице 1.4.2., можно сделать вывод, что мода имеет 1 локальный максимум в окрестности точки х = 12,58 и с частотой по n = 14

Оценку медианы находим, используя вариационный ряд для которого

n = 2k = 60 и k = 30:

Мe =1/2 (хk + хk+1) = ½ (х30 + х31) = ½ (12,95+12,96) = 12,96

Сравнение оценок Мe медианы = 12,96 и оценки математического ожидания Х = 13,11 показывает, что они отличаются на 15 %.

Таблица 1.4.2

[xi-1; xi)	[11,08;11,68)	[11,68;12,28)	[12,28;12,88)	[12,88;13,48)	[13,48;14,08)	[14,08;14,68)	[14,68;15,28)	[15,28;15,88)
	11,38	11,98	12,58	13,18	13,78	14,38	14,98	15,58
ni	4	11	14	11	7	7	5	1
	0,0667	0,1833	0,2333	0,1833	0,1167	0,1167	0,0833	0,0167
	0,1111	0,3056	0,3889	0,3056	0,1944	0,1944	0,1389	0,0278