1.2. Вычисление основных числовых характеристик выборочных наблюдений

1. Среднее арифметическое случайной величины Х

_N=60

_∑

Х= ⁱ⁼¹ = 13.11

^N

2. Среднее линейное отклонение

_N=60

d = 1 _∑ |X_i – X| = 48,1/60 = 0,8

N ⁱ⁼¹

3. Дисперсия случайной величины Х

_N=60

D[X] = σ² = 1 _∑ (X_i – X )² = 56,20/60 = 0,94

N ⁱ⁼¹

4. Несмещенная оценка дисперсии

_N=60

D[X] = σ² = 1 _∑ (X_i – X )² = 56,20/59 = 0,95

N-1 ⁱ⁼¹

5. Среднее квадратическое отклонение

σ = √ D[X] = √0,94 = 0,97

6. Несмещенная выборочная оценка для среднего квадратического отклонения

σ = √ D[X] = √0,95 = 0,975

7. Коэффициент вариации

V = 0,975 * 100% = 7,44%

13,11

8. Коэффициент ассиметрии случайной величины Х

_N=60

A_s = 1 _∑ (X_i – X )³ = 0,453

N ⁱ⁼¹

σ³

9. Коэффициент экцесса случайной величины Х

_N=60

E = 1 _∑ (X_i – X )⁴ - 3= - 0,782

N ⁱ⁼¹

σ ⁴

10. Вариационных размах

R = X_max - X_min = 15,37 -11,38 = 3,99

На основании полученных вычислений можно сделать следующие выводы:

1. необходимое условие для того, чтобы выборка имела нормальный закон распределения, выполняется, т.к. для коэффициента вариации V выполняется неравенство:

V = 7,44 % < 33%

2. для нормального распределения коэффициенты асимметрии и эксцесса должны быть равны нулю, т.е. As = E = 0.

По результатам вычисления асимметрия As = -0,453 и коэффициент эксцесса Е = -0,782 не близки к нулю.

Коэффициент асимметрии равен As= -0,453. Он отрицательна, а это значит, что «длинная часть» кривой располагается слева от математического ожидания.

Коэффициент эксцесса равен Е= -0,782. Он отрицательный, а это означает, что функция плотности имеет более низкую и плоскую вершину, чем плотность нормального распределения. В связи с этим необходимы дополнительные исследования для выяснения степени близости распределения выборки к нормальному распределению.

1.3 Результаты вычисления интервальных оценок для математического ожидания и дисперсии

Для вычисления интервальной оценки математического ожидания воспользуемся известной формулой

Где а=М[X] – математическое ожидание

N-1 =V – число степеней свободы

t_v,p – величина, численно равная половине интервала, в который может попасть случайная величина Х, имеющая определенный закон распределения при заданной доверительной вероятности ρ и заданном числе степеней свободы V.

t_v,p подставляем в формулу вычисленные ранее значения Х, σ и N в результате получим

_0,975 0,975

13,11^{– t}_59,p ^{√60 <а<} 13,11 ^{+ t}_59,p ^√60

Задаемся доверительной вероятностью

Р₁ = 0,95; Р₂ = 0,99

Для каждого значения р₁ (i =1,2) находим по таблице 3.1.1 (из методички) значения t_59;pi и вычисляем два варианта интервальных оценок для математического ожидания.

При р₁ =0,95 t_{59; 0,95} =2,00

13,0775 ^<а< 13,1425

При р₂ = 0,99 t_{59; 0,95} = 2,66

13,067 ^<а< 13,153

Для интервальной оценки дисперсии существуют следующие неравенства:

(N-1) σ ² < σ² < (N-1) σ ²

x²₂ x²₁

Подставляя в неравенство известные значения N и σ получим неравенство, в котором неизвестны x²₂ и x²_1.

59*0,975 < σ² < 59*0,975

x²₂ x²₁

Задаваясь доверительной вероятностью р₁ (или уровнем значимости α ) вычисляем значения 1-р₁ и 1+р₁ .

2. 2

Используя эти два значения и степень свободы v=N-1 по таблице 1.3.2 (в методичке) находим x²₁ и x²₁

= = = =

x²₂ и x²₁ - это границы интервала, в который попадает случайная величина Х, имеющая x² (хи-квадрат) распределение при выбранной вероятности p_i и заданной степени свободы v.

Для p₁ = 0,95 1-p₁ = 0,025; 1+p₁ =0,975 и v=59 находим по таблице 3.2

2. 2

x²₁ = x² _0,975;59= 40,4817

x²₂ = x² _0,025;59= 83,2976

Подставляя в неравенства x²₁ и x²₂ и произведя вычисления получим интервальную оценку

0,691 < σ² < 1,421

Для p₂ = 0,99 1-p₂ = 0,005; 1+p₂ =0,995 и v=59 находим по таблице 3.2

2. 2

x²₁ = x² _0,995;59= 35,5346

x²₂ = x² _0,005;59= 91,9517

Подставляя в неравенства x²₁ и x²₂ и произведя вычисления получим интервальную оценку

0,626 < σ² < 1,619

Для интервальной оценки среднего квадратического отклонения имеем

√N-1 * σ < σ < √N-1 * σ

√ x²₂ √ x²₁

При p₁ = 0,95; 0,8204 < σ < 1,1768

При p₂ = 0,99; 0,7808 < σ < 1,2562