1.2.Классификация систем массового обслуживания

1. По числу каналов:

• одноканальные (с одним обслуживающим устройством);

• многоканальные (с большим числом обслуживающих устройств).

2. По времени пребывания требований в очереди до начала обслуживания системы делятся на:

• с отказами в обслуживании - заявка, поступившая в момент, когда все каналы обслуживания заняты, получает "отказ" и сразу покидает систему, а не становится в очередь;

• с ожиданием (очередью) - заявка, пришедшая когда все каналы заняты, не уходит, а становится в очередь и ждет освобождения канала.

• смешанные - есть ограничения на длину очереди;

3. СМО могут также различаться по дисциплине обслуживания.

Дисциплина очереди —это важный компонент системы массового обслуживания, он определяет принцип, в соответствии с которым поступающие на вход обслуживающей системы требования подключаются из очереди к процедуре обслуживания. Чаще всего используются дисциплины очереди, определяемые следующими правилами: 

• первым пришел — первым обслуживаешься; 

• пришел последним - обслуживаешься первым; 

• случайный отбор заявок; 

• отбор заявок по критерию приоритетности; 

• ограничение времени ожидания момента наступления обслуживания (имеет место очередь с ограниченным временем ожидания обслуживания, что ассоциируется с понятием «допустимая длина очереди»). 

1.3.Моделирование систем массового обслуживания

Суть математического моделирования системы заключается в следующем:

Время функционирования системы разделяется на достаточно большое количество подинтервалов (единиц времени, в течение которых не может возникнуть более одной заявки или завершиться выполнение более одной заявки). Для каждого такого подинтервала последовательно моделируется факт появления новой заявки (да/нет), проверяется наличие свободного канала (закончено ли обслуживание какой-то заявки) и загрузка его заявкой из очереди, проверяется наличие мест в очереди с последующим выводом (принять в очередь/отказать в обслуживании) и т.д. При этом фиксируется число отказов, время ожидания заявок в очереди и в системе вообще, число заявок в очереди в каждый момент и другие значения, которые позволяют найти вероятность отказа, распределение времени ожидания и среднее время, вероятность простоя каналов и т.п. Для надежности выводов такое разовое моделирование повторяется достаточно много раз.

Очевидно, что ни о каком ручном моделировании не может быть речи (объем работы здесь слишком велик для нормального индивида). Здесь приходится использовать компьютер с встроенным или программным датчиком псевдослучайных чисел с равномерным законом распределения в интервале от 0 до 1. Псевдослучайные числа получаются по какому-то алгоритму, но в совокупности подчиняются всем законам проверки на случайность.

2. Практическое задание

Клиенты приходят в офис банка со средней интенсивностью 10 человек в час, на обслуживание одного клиента тратится в среднем по 5 минут. В настоящее время этой работой занимается один служащий. Исходя из распределения Пуассона входящего потока клиентов и экспоненциального распределения времени обслуживания определите:

1. Какой процент времени банковский служащий сидит без дела?

2. Сколько времени в среднем клиенты проводят в очереди?

3. Из скольких человек в среднем состоит очередь?

4. Какова вероятность того, что пришедший клиент обнаружит в системе одного человека, или более?

5. Если на компьютер служащего будет установлено новое программное обеспечение, позволяющее на 40% быстрее обрабатывать запросы клиентов, как изменятся ответы на вопросы 2, 3, 4?

6. Как изменятся ответы на вопросы 2, 3, если нанять еще одного служащего, который будет работать с той же средней интенсивностью, что и первый (5минут на одного клиента)? Какова вероятность возникновения очереди в этом случае?

Какой из вариантов действий наиболее предпочтителен для администрации банка: ничего не менять, установить новое программное обеспечение, или нанять дополнительного служащего. Учитывая, что оборудование рабочего места обходится в 25 000 рублей (срок службы оборудования 3 года), заработная плата служащего с учетом социальных начислений составит 18900 рублей в месяц. Покупка программного обеспечения обойдется в 150 000 рублей на каждое рабочее место (лицензия действует 3 года). Кроме того, известно, что клиенты не станут ждать в очереди более 5 минут (покинут систему необслуженными и банк потеряет доходы). Маржинальный доход по данной категории операций составляет в среднем 40 руб/клиента. Офис работает 9 часов в день, в среднем 22 дня в месяц. Обосновать свой выбор.

Для решения подобных задач необходимо пользоваться следующими формулами и моделями.

Интенсивность загрузки канала обслуживания:

, где  - интенсивность входящего потока заявок (единиц/ час, единиц/мин.);

μ – интенсивность обслуживания (количество обслуженных заявок в единицу времени) (единиц/час, единиц/мин.)

Среднее количество человек в системе:

, где - среднее количество человек в очереди.

Среднее время пребывания в очереди:

.

Среднее время пребывания в системе:

.

Модель 1. Структура одноканальная, однофазовая. Распределение входящего и исходящего потока заявок Пуассоновское.

Среднее количество заявок в очереди:

Вероятность нахождения n заявок в системе

Модель 2. Структура одноканальная, однофазовая. Распределение входящего потока заявок Пуассоновское. Распределение исходящего потока заявок - равномерное.

Среднее количество заявок в очереди:

Модель 3 .Структура многоканальная, однофазовая. Распределение входящего потока заявок Пуассоновское. Распределение исходящего потока заявок – Пуассоновское.

Вероятность того, что нет заявок ни в очереди, ни на обслуживании:

, где N – количество каналов обслуживания.

Среднее количество заявок в очереди:

.

Решение:

1. По условию:

λ = 10 чел/час

Тоб = 5 мин/чел.

Так как в условии только один канал обслуживания, то необходимо использовать 1 модель.

Найдем среднее количество заявок, которое один канал обслуживания способен обработать в единицу времени μ:

μ= 60 мин/час : 5 мин/чел = 12 чел/час

Отсюда уровень загрузки банковского служащего ρ равен:

_{, следовательно, отсюда 100% - 83%=17% времени банковский служащий сидит без дела.}

1. _{Определим среднее количество человек в очереди:}

Т.е. в среднем очередь состоит из 4,17 человека.

2. Определим, сколько времени в среднем клиенты проводят в очереди:

Таким образом, в среднем клиенты проводят 25 минут в очереди.

3. Найдем вероятность того, что пришедший клиент обнаружит в системе одного человека, или более.

Следовательно, вероятность того, что клиент обнаружит в системе одного человека, или более равна соответственно 31,1% и 68,9%.

2. Установим на компьютер служащего новое программное обеспечение и посмотрим, как изменится ситуация.

Время обслуживания при этом сократится на 40%, т.е.

Тобс=5-5*0,4=3мин/чел

Отсюда:

μ= 60 мин/час : 3мин/чел = 20 чел/час

Отсюда уровень загрузки банковского служащего ρ равен:

1. _{Определим среднее количество человек в очереди:}

2. Определим, сколько времени в среднем клиенты проводят в очереди:

3. Н айдем вероятность того, что пришедший клиент обнаружит в системе одного человека, или более.

Таким образом, если установить на компьютер служащего новое программное обеспечение, то время ожидания клиентов в очереди уменьшится с 25 минут до 3 минут, среднее количество человек в очереди уменьшится с 4,17 до 0,5 человек, а вероятность того, что пришедший клиент обнаружит в очереди одного клиента, или более увеличится с 31,1% до 75% и уменьшится с 68,9% до 25%.

3. Рассмотрим как изменится ситуация если нанять еще одного служащего.

Так как теперь у нас два канала обслуживания, то будем использовать 3 модель.

1. Определим вероятность того, что ни в очереди, ни на обслуживании не будет ни одного клиента Ро:

Следовательно, вероятность того, что ни в очереди, ни на обслуживании не будет ни одного клиента равна 41,3%.

2. Найдем, из скольки человек в среднем состоит очередь

Т.е. в среднем в очереди будет находиться 0,17 человека.

3. Определим, сколько времени в среднем клиенты проводят в очереди:

Таким образом, в среднем клиенты проводят в очереди 1,04 минуты.

4. Определим вероятность возникновения очереди:

С ледовательно, вероятность возникновения очереди равна 10%.

Выбирая из трех возможных вариантов, отказываемся от первого варианта (ничего не менять), т.к. время ожидания в очереди больше 5 минут и равно 25 минутам. При этом варианте теряем клиентов. Рассчитаем точное количество клиентов, которое мы теряем в час. Для этого:

Μ=12 чел/час

λ должна уменьшиться на λ=10-6=4 (чел/час)

Финансовые потери в день составят:

4чел/час*9час/день*40руб/чел=1440 руб/день

Финансовые потери за месяц:

1440 руб/день*22дня=31680 руб.

Если установить новое программное обеспечение, то потери будут равны:

Потери=150000/36+(25000/36мес)+18900=23761,12 руб.

Если нанять еще одного служащего, то потери будут равны:

Потери=25000/36мес+18900=19594,4*2=39188,8 руб.

Из расчетов по вариантам, можно сделать вывод, что наиболее предпочтительный для банка вариант установить новое программное обеспечение на компьютер служащего.