4.6.Риманова геометрия

Риманова геометрия, или, что то же, геометрия римановых пространств, представляет собой обобщение внутренней геометрии поверхностей на произвольное число измерений и так же относится к n-мерной евклидовой геометрии, как внутренняя геометрия поверхностей – к геометрии на плоскости. Она названа по имени ее создателя Римана.

Внутренняя геометрия поверхности определяется длинами кривых на ней, поэтому, с точки зрения своей внутренней геометрии, поверхность – это двумерное многообразие, в котором определены длины кривых, причем длина гладкой кривой выражается интегралом от «линейного элемента» . Это соответствует тому, что длины измеряются как бы «бесконечно малыми шагами» , - сумма их вдоль кривой и дает ее длину (как пояснил сам Риман).

На гладкой поверхности во введенных на ней координатах квадрат линейного элемента выражается как квадратичная форма от дифференциалов координат – первая квадратичная форма поверхности.

Чтобы определить, что такое риманово пространство, достаточно перенести сказанное на n измерений.

Риманово пространство – это многообразие, в котором определены длины кривых, причем длина кривой выражается интегралом от «линейного элемента» . Это соответствует тому, что длины измеряются как бы «бесконечно малыми шагами» ; сумма их вдоль кривой и дает ее длину .

В координатах введенных в многообразии или в его области, квадрат линейного элемента выражается как квадратичная форма от дифференциалов координат:

, (1)

Где коэффициенты являются непрерывными функциями точки – ее координат при этом . Форма (1) положительна, т. е. принимает только положительные значения, кроме того случая, когда

Задание формулой (1) значит следующее. Если в многообразии или в некоторой его области, где расположена кривая, введены координаты, то кривая может быть задана параметрическими уравнениями

Предполагается, что эти функции имеют непрерывные производные. Тогда, приняв для этих производных обозначения , можно из (1) получить выражение для элемента длины ds данной кривой:

и длины кривой представляется интегралом:

Так как коэффициенты суть непрерывные функции координат а на кривой и т. д., то оказываются непрерывными функциями , так же как Поэтому интеграл имеет обычный смысл и существует.

Так же как на поверхности, расстояния в римановом пространстве между двумя точками можно определить как точную нижнюю границу длин кривых , соединяющих эти точки. Это будет длина кратчайшей из кривых , если кратчайшая существует. Во всяком случае, у каждой точки есть окрестность, что любые две точки можно соединить кратчайшей. Кратчайшие играют в римановой геометрии роль отрезков. Кривая, которая оказывается кратчайшей на каждом малом участке, называется геодезической, так же как на поверхностях. Но большие дуги геодезических могут и не быть кратчайшими, как, например, дуги больших кругов на сфере, большие полуокружности.

В малой окрестности любой точки геометрия риманова пространства мало отличается от евклидовой: тем меньше, чем меньше окрестность. Это основано на том, что преобразованием координат можно привести квадратичную форму в данной точке к виду , т. е. к квадрату линейного элемента евклидового пространства в прямоугольных координатах. Вблизи данной точки линейный элемент будет мало отличаться от евклидова Поэтому и геометрия в окрестности будет близка к евклидовой.

Точнее это можно выразить следующим образом.

В n-мерном римановом пространстве в окрестности любой точки О можно ввести такие координаты что расстояние между любыми двумя точками этой окрестности можно представить формулой

(2)

где - разности координат точек , а таково, что , когда точки приближаются к нулю.

Начало координат можно взять в точке О и обеспечить, что кратчайшие – геодезические линии, проходящие через нее, - будут представляться как прямые уравнениями вида (3)

Длина отрезка такой линии будет точно представляться евклидовой или пифагоровой формулой:

(4)

В частности,

Это позволяет определить угол – величину угла между двумя линиями, исходящими из точки О, так же как в евклидовом пространстве. А так как за О можно принять любую точку, то угол определяется между двумя линиями, исходящими из одной точки. Точно так же можно ввести другие понятия дифференциальной геометрии, поскольку они относятся к свойствам кривых и поверхностей «в точке», т. е. определяются их свойствами в сколь угодно малой ее окрестности (и поскольку отклонения от евклидовой геометрии не играет роли).

Но риманова геометрия вообще отличается от евклидовой и в малых областях, хотя и на величины более высокого порядка малости. По аналогии с поверхностями, у которых гауссова кривизна относится к их внутренней геометрии, говорят о «римановой кривизне», характеризующей отклонение геометрии данного риманова пространства вблизи данной его точки от евклидовой геометрии. Взятое в точном смысле, понятие кривизны риманова пространства сложно. Оно, так же как на поверхностях, связано с отличием от суммы углов треугольника, сторонами которого служат кратчайшие линии.

В общем, современная геометрия включает многочисленные теории разного пространств и фигур в них, и далеко не все были упомянуты. Но их объединяет общая основа, если не считать некоторых не очень значительных теорий.

Всякое пространство, которое определяют и исследуют в геометрии, представляет собой, за редким исключением, топологическое пространство, наделенное той или иной дополнительной структурой – метрикой, группой преобразований и т. д. и т. д. Но при всем их разнообразии все они выросли из зерна обычного трехмерного евклидова пространства, из его углубленного изучения и обобщения, из связанных с ним наглядных представлений как, скажем, преобразование фигур перемещением или проектированием с плоскости на плоскость, обобщением в общем групповом принципе определения разных «геометрий», или измерение длин малым масштабом, которое легло в основу римановой геометрии и ее обобщений.