Формула прямоугольников

Сущность принципа квадратуры при численном интегрировании рассмотрена выше. Иначе – вычислить определенный интеграл означает вычислить площадь нелинейной трапеции. Численным методом это, например, можно сделать следующим образом. Отрезок разбивают на п равных частей и на каждом из участков разбиения строят, например, прямоугольник, площадь каждого из которых будет равна: .

Тогда .

Разбиение криволинейной трапеции на прямоугольники может быть выполнена тремя способами.

1) В качестве выбирают левую границу участка разбиения. Тогда

и .

Графически этот способ представлен для нисходящей и восходящей функций, на рисунке 21а,б, соответственно.

Рисунок 21 - К выводу формулы прямоугольников с левыми ординатами

2. В качестве выбирают правую границу участка разбиения. Тогда

и .

Графически этот способ представлен на рисунке 22.

Рисунок 22 - К выводу формулы прямоугольников с правыми ординатами

Квадратурная формула первого типа называется формулой прямоугольников с левыми ординатами, а второго типа – формулой прямоугольников с правыми координатами.

3) В качестве выбирают середину участка разбиения, т.е.

, и .

Графическая интерпретация способа представлена на рисунке 23. Квадратурная формула третьего типа называется формулой прямоугольников с центральными ординатами.

Рисунок 23 - К выводу формулы прямоугольников с центральной ординатой

Как видно из графических построений, в любом случае возникает погрешность вычислений (заштрихованные зоны). Величина и знак погрешности зависит от подынтегральной функции, от величины отрезка интегрирования и количества участков разбиения п. Для интегрирования по формулам прямоугольников с правыми или левыми ординатами погрешность вычислений определяется по формуле:

, где ,

т.е. максимальное значение первой производной функции f(x) на участке интегрирования. Если функция задана таблично, то это максимальное (абсолютное) значение конечной разности первого порядка.

Для интегрирования по формуле прямоугольников с центральными ординатами погрешность вычислений определяется по формуле:

, где ,

т.е. максимум второй производной функции на участке интегрирования (максимум конечной разности второго порядка). Несомненно, интегрирование по третьему методу дает более низкую погрешность.

Формула трапеций

При этом способе после разбиения отрезка интегрирования на п равных участков функция f(x) кусочно интерполируется на каждом участке. В результате криволинейная трапеция заменяется соответствующим количеством прямолинейных трапеций, суммарная площадь которых и есть приближенное значение интеграла f(x) на отрезке (см. рисунок 24).

Рисунок 24 - К выводу формулы трапеций

Выведем квадратурную формулу приближенного интегрирования. Запишем значения площадей элементарных прямоугольных трапеций в последовательности:

;

;

;

и просуммируем их.

.

Очевидно, квадратурная формула трапеций будет иметь общий вид:

.

Формула имеет и другое написание:

, где - сумма значений функции в крайних точках,

- сумма значений функции в промежуточных точках.

Погрешность вычислений по формуле трапеций рассчитывается по выражению:

, где ,

т.е. максимум второй производной на всем отрезке интегрирования. Обычно эти производные достаточно вычислить на концах отрезка интегрирования.

Видим, что погрешность метода трапеций практически такая же, как и при методе прямоугольников с центральной ординатой.