4. Нормальный случайный прцесс и его параметры

Нормальный закон распределения (закон Гаусса). Непрерывная случайная величина Х имеет нормальный закон распределения с параметрами   и  (обозначают  ), если ее плотность вероятности имеет вид:

, где   ,   .

Математическое ожидание характеризует центр рассеивания значений случайной величины и при изменении   кривая будет смещаться вдоль оси абсцисс (см. рис. 2 при   и при  ). Если же при неизменном математическом ожидании у случайной величины изменяется дисперсия, то кривая будет изменять свою форму, сжимаясь или растягиваясь (см. рис. 2 при  :  ;  ;  ).

Таким образом, параметр   характеризует положение, а параметр  - форму кривой плотности вероятности.

Нормальный закон распределения случайной величины Х с параметрами   и   (обозначается N(0;1)) называется стандартным или нормированным, а соответствующая нормальная кривая – стандартной или нормированной.

Согласно определению функция плотности вероятности и функция распределения связаны между собой:

 ,   где   .

Интеграл такого рода является "неберущимся", поэтому для его нахождения используют особую функцию, так называемый интеграл вероятностей или функцию Лапласа, для которой составлены таблицы (см. Приложение 1).

,  - функция нечетная!
	Рис. 3. Функция Лапласа Ф(t)

Используя функцию Лапласа можно выразить функцию распределения нормального закона по формуле: ,   где  .

Для практических целей очень важны свойства случайной величины, имеющей нормальный закон распределения.

-  Если  , то для нахождения вероятности попадания этой величины в заданный интервал (х₁;х₂) используется формула:

.

- Вероятность того, что отклонение случайной величины   от ее математического ожидания   не превысит величину   (по абсолютной величине), равна:

.

-  "Правило трех сигм". Если случайная величина  , то практически достоверно, что ее значения заключены в интервале ( ). (Вероятность выхода за эти границы составляет 0,0027.) Правило позволяет, зная параметры (  и  ), ориентировочно определить интервал практических значений случайной величины.

5. Функция корреляции случайного процесса, ее физический смысл.

Функция корреляции

(m=const)

Свойства:

Функция взаимной корреляции Определяет статистическую связь между значениями двух различных с.п.

Коэффициент корреляции случайного процесса по определению равен

Как видно из определения, функция автокорреляции равна усредненному произведению реализации центрированного случайного процесса(т.е. процесса, из которого удалена постоянная составляющая  ) на свою копию, сдвинутую по времени на величину  . Поэтому при   она равна дисперсии случайного процесса   ):

Если реализация случайного процесса   имеет ограниченный по частоте спектр, то при растяжении ее графика во времени наступает момент, когда он начинает выглядеть не как шум, а как извилистая гладкая кривая. Поэтому вероятность того, что при достаточно малом сдвиге  значения функции будут различаться сильно, становится пренебрежимо малой. При увеличении сдвига   эта вероятность возрастает. Поэтому при малых   автокорреляционная функция всегда мало отличается от  , а коэффициент корреляции - от единицы.

Ч асто используется понятие "интервал корреляции" или "время корреляции", под которыми понимается величина временного сдвига  , при превышении которого корреляцией можно пренебречь в условиях конкретного эксперимента. Обычно интервал корреляции определяют как  .

Рис. 4.1. Коррелированный (вверху) и некоррелированный (внизу) случайный процесс (погрешность измерений)

Если интервал корреляции равен нулю, то случайный процесс называют некоррелированным, или белым шумом. В противном случае случайный процесс является коррелированным. В качестве примера на рис. 4.1 приведен пример коррелированного (вверху) и некоррелированного (внизу) случайного процесса. Реальные процессы все являются коррелированными, поскольку имеют ограниченную мощность и, следовательно, ограниченную полосу частот. Однако на определенном интервале времени (частот) их можно приближенно считать некоррелированными.