2. Лабораторна робота 2

"Дослідження перехідних і частотних характеристик аперіодичної ланки першого порядку"

Мета роботи - навчитися моделювати аперіодичну ланку першого порядку із заданими параметрами, вивчити перехідні та частотні характеристики, оволодіти основними прийомами їх дослідження на АОК-6.

Теоретичні відомості

Дослідження перехідних характеристик. Схема отримання перехідної характеристики, тобто реакції у(t) динамічної системи з передатною функцією W(p) на ступінчасту вхідну дію x(t), показана на рис. 2.1.

Рисунок 2.1 – Схема отримання перехідної характеристики: 1 – вхідний сигнал; 2 – вихідний сигнал; 3 – електронна лінійка

Прямокутні імпульси з генератора ГСС подаються на вхід моделі x(t). Досліджуваний сигнал у(t) з виходу моделі подається на вхід Y індикатора. Лінійну в часі розгортку по осі абсцис здійснює трикутний сигнал ГСС, який подається на вхід X індикатора. Сигнали генератора синхронні, і перемикання полярності прямокутних імпульсів відбувається одночасно зі зміною нахилу трикутного сигналу. Тому при наборі АОК у періодичному режимі (натиснута кнопка 2 перемикача режиму) на екрані ЕПІ в кожен напівперіод, відповідний наростанню трикутного сигналу, спостерігається реакція моделі на позитивний прямокутний імпульс, тобто перехідна характеристика. У наступний напівперіод (спад трикутного сигналу) на екрані ЕПІ бачимо процес повернення моделі у вихідний стан з нульовими початковими умовами (пунктирна лінія). Приклад відповідного зображення показаний на рис. 2.2 а.

Рисунок 2.2 – Зображення перехідної характеристики

Стрілками відмічений напрям руху променя. Рух променя зліва на право дає зображення перехідної характеристики моделі, справа наліво – показує процес установки нульових початкових умов.

Установкою перемички між гніздом Z модулятора яскравості променя і одним із двох гнізд, розташованих зліва і праворуч від нього, можна погасити зворотний (рис. 2.2 б), або прямий хід променя, залишивши потрібне зображення.

У схемі рис. 2.1 для одержання перехідного процесу вхідні прямокутні імпульси можуть бути замінені на сталу напругу потрібної величини, що формується за допомогою еталонних джерел і дільників напруги, а також на будь-які інші сигнали, сформовані на основі сигналів генератора АОК. Якщо необхідно досліджувати вільний рух моделі з ненульових початкових умов, то в схемі рис. 2.1 відключають зовнішню дію x(t) і встановлюють у моделі ненульові початкові умови.

Увімкнення комутатора в схему (рис. 2.1) дає можливість спостерігати тимчасові осцилограми не лише вихідної величини у(t), а й усіх проміжних змінних моделі, включаючи і вхідний сигнал x(t). Вимірювальна лінійка (рис. 2.1) може переміщатися вгору і вниз по екрану залежно від положення ручки дільника напруги, а величина напруги Dy на виході дільника відображається цифровим вольтметром V.

Порядок вимірів ілюструється осцилограмами, наведеними на рис. 2.3 а, б, в, г.

Рисунок 2.3 – Осцилограми вимірів

Спочатку, підстроюючи напругу Ey, вимірюють, наприклад, стале значення вихідного сигналу Y_уст вихідного сигналу. Потім лінійку 3, обертаючи ручку дільника D поєднують із вхідним сигналом 1 (рис. 2.3 б). У цьому разі вольтметр покаже значення вхідного сигналу x(t).

Для визначення абсциси точки, що цікавить, наприклад, точки А, тобто час t_пп, що минув з початку перехідного процесу і до його закінчення, досить зменшити час розгортки, збільшивши частоту коливань ГСС. Мета підналаштування – добитися того, щоб точка А, що цікавить дослідника, припала на кінець розгортки, як це показано на рис. 2.3 г. Коли це станеться цифровий вимірювач тривалості покаже шуканий час t_пп у мілісекундах.

Дослідження частотних характеристик. При подачі на вхід лінійної динамічної системи гармонійного сигналу на виході системи із часом встановляться коливання , причому амплітуда цих коливань і їх фазовий зсув відносно вхідної синусоїди залежатимуть від частоти, а також від властивостей самої системи. Експериментуючи з моделлю системи, можна досліджувати її частотні характеристики – амплітудну і фазову.

Амплітудною частотною характеристикою (АЧХ) системи називають відношення амплітуди вихідних гармонічних коливань до амплітуди вхідної синусоїди, що розглядається як функція частоти вхідного сигналу:

.

Фазовою частотною характеристикою (ФЧХ) системи називають залежність від частоти фазового зсуву між вихідним гармонічним сигналом і вхідною синусоїдою. Частотні характеристики досліджують у режимі безперервної інтеграції (натиснута кнопка 1 перемикача режиму).

Розглянемо один з найбільш простих і ефектних способів одержання АЧХ і ФЧХ засобами АОК-6. Якщо подати на вхід індикатора синусоїдальний сигнал генератора, а розгортку по входу здійснювати трикутним сигналом, то на екрані вийде зображення двох півхвиль синусоїди. Лінійно наростаюча ділянка трикутного сигналу розгортає позитивну півхвилю синусоїди зліва направо, а лінійно-спадаюча ділянка трикутного сигналу розгортає негативну півхвилю синусоїди справа наліво. Будь-яку з половин цієї синусоїди можна погасити, встановивши перемичку між гніздом модулятора яскравості індикатора і одним із гнізд, розташованих зліва і праворуч від нього.

На рис. 2.4 показано вид осцилограми для фазового зсуву між вхідними і вихідними сигналами (рис. 2.4 а), (рис. 2.4 б), (рис. 2.4 в).

Рисунок 2.4 – Осцилограми для фазового зсуву

У першому випадку промінь рухається за годинниковою стрілкою, в останньому – проти. Осцилограми легко розрізнити, погасивши зворотний хід променя. Амплітуду вихідного сигналу системи можна визначити за максимальним вертикальним відхиленням променя, а фазовий зсув відлічується безпосередньо по горизонтальній осі від її початку до точки перетину осцилограми із цією віссю. При цьому необхідно врахувати, що вся довжина осі відповідає фазовому зсуву .

Повна схема для дослідження частотних характеристик подана на рис. 2.5. Сигнали на індикатор подаються через два канали комутатора. У перший такт роботи комутатора на екран виводиться осцилограма вхідного сигналу, в другий такт – осцилограма вихідного сигналу моделі, в третій такт – горизонтальна вимірювальна лінійка для виміру амплітуди, формована дільником D1, а в четвертий – вимірювальна точка для виміру фази, яка формується дільником D2.

Рисунок 2.5 – Повна схема для дослідження частотних характеристик: 1 – вхідний сигнал, 2 – вихідний сигнал, 3 – електронна лінійка, 4 – вимірювальна точка

Величину фазового зсуву можна оцінити приблизно за довжиною відрізання на осцилограмі (рис. 2.4). Для точніших вимірів використовують вимірювальну точку. Змінюючи коефіцієнт передачі дільника D2, добиваються, щоб вимірювальна точка 4 (рис. 2.5, 2.6) збіглася з точкою пересічення вхідного сигналу з віссю абсцис (рис. 2.6).

Рисунок 2.6 – Зображення сигналу на індикаторі

Тоді фазовий (негативний) зсув можна розрахувати за формулою

(2.1)

Якщо амплітуди вхідного і вихідного сигналів сильно відрізняються одна від одної, то для зручності вимірів доцільно використовувати входи індикатора з різною чутливістю. Частоту вхідного сигналу, при якій виконуються виміри, найпростіше визначити за показниками вимірювача тривалості. Ці значення дорівнюють половині періоду коливань генератора АОК, тому частота f сигналу пов'язана зі значеннями вимірювача тривалості співвідношенням

, Гц,

де вимірюється в мілісекундах.

Якщо необхідно визначити колову частоту , то необхідно скористатися формулою

.

Моделювання аперіодичної ланки першого порядку. Для моделювання аперіодичної ланки першого порядку з передатною функцією використовується лінійний блок. При цьому вхідний сигнал подається на вхід перетворювача K (точка А). Перемичка цього перетворювача ставиться в положення 0-1 або 0-10 залежно від розрахункового коефіцієнта K. На інтеграторі встановлюють перемичку 1 з коефіцієнтом Kі =1, 10 або 100. Зворотний зв'язок замикається за допомогою перемички 3. Вихідний сигнал знімають у точці B. Структурна схема моделі показана на рис. 2.7. Коефіцієнт K виставляється за допомогою перетворювача на блоці K у межах від 0 до 10.

Рисунок 2.7 – Структурна схема моделі аперіодичної ланки першого порядку

Коефіцієнт передачі зворотного зв'язку Kос визначається положенням регулятора “а” і перемички 2. Регулятор “а” коефіцієнт передачі Kа може змінюватися від -1 до +1. Установка перемички 2 між горизонтальними гніздами 1 на інтеграторі змінює коефіцієнт зворотного зв'язку Kос на -1. Тому

. (2.2)

Таким чином при встановленій перемичці 2 зміною величини Kа можна отримати коефіцієнт Kос у діапазоні від -2 до 0. Передатна функція моделі аперіодичної ланки має вигляд

. (2.3)

Якщо аперіодична ланка задана у вигляді

, (2.4)

то параметри моделі (рис. 2.7) визначаються виходячи з рівностей (2.2), (2.3), таким чином:

; (2.5)

(2.6)

Параметр Kи установкою перемички 1 вибирається таким, щоб необхідне Kос знаходилося в межах від -2 до 0. Мінімальна стала часу аперіодичної ланки, яка може бути реалізована на одному блоці, дорівнює 3 при Kи =100 і Kос =-2. При менших значеннях Kи і Kос стала часу аперіодичної ланки буде більшою.

Приклад. Нехай необхідно змоделювати аперіодичну ланку з передатною функцією .

Параметри ланки Kо =2 і Tо =0,008. Kос визначається з рівності (2.5). Kи необхідно вибрати таким, що дорівнює 100, тоді Kос =-1,25 і коефіцієнт Kа =-0,25, див. рівність (2.2). З рівності (2.6) отримаємо K = 2,5, тобто виставивши на лінійному блоці коефіцієнт K = 2,5; Kи = 100; Kа = -0,25 на регулювальнику “а” і, з'єднавши відповідні гнізда перемичками 1, 2, 3 (рис. 11), отримаємо модель аперіодичної ланки з передатною функцією

.

Хід роботи

1 Зберіть модель аперіодичної ланки, виставивши задані коефіцієнти K і Kос, відповідні вашому варіанту (табл. А.1), коефіцієнт Kи виставити таким, що дорівнює 100.

2 Зберіть схему для дослідження перехідних характеристик ( рис. 2.1).

3 За допомогою вимірювача тривалості та електронної лінійки визначте час перехідного процесу t_пп, значення вхідного сигналу x(t) і стале значення вихідного сигналу Y_уст. Зарисуйте отриману осцилограму.

4 Для визначення сталої часу Т₀₁ моделі аперіодичної ланки проведіть такий дослід. Виберіть на осцилограмі вихідного сигналу довільну точку С (рис. 2.8 а).

Рисунок 2.8 – Осцилограма вихідного сигналу

Вимірювальною лінійкою визначите значення У_с вихідного сигналу в точці С і стале значення вихідного сигналу Y_уст. Обчисліть величину . За допомогою вимірювача тривалості визначте час t₁ (рис. 2.8 а). Для цього, обертаючи ручку регулятора частоти, потрібно добитися на екрані зображення, при якому точка С виявиться на краю екрану (рис. 2.8 б). Тоді вимірювач тривалості покаже шуканий час t₁. Обчисліть сталу часу ,

де K₀ визначається з рівності (2.6).

5 Повторіть експеримент для іншої точки. Порівняйте отримані значення Т₀₁.

6 Зберіть таку схему: обертаючи регулятор частоти, добийтеся зсуву за фазою між вхідним і вихідним сигналами . Визначте величину , де - показник вимірювача тривалості. За допомогою вимірювальної лінійки визначте значення амплітуди вхідного U_вх і вихідного U_вих сигналів і обчисліть значення амплітудної характеристики

.

7 Зберіть модель аперіодичної ланки з передатною функцією , підставляючи K₀₂ і T₀₂ з табл. А.1.

8 Зберіть схему для дослідження перехідної характеристики (рис. 2.1). Визначте амплітуду вхідного сигналу U_вх і U_уст вихідного сигналу і час перехідного процесу t_пп. Зарисуйте отриману осцилограму.

9 Зберіть схему для дослідження частотних характеристик (рис. 2.5), заповніть табл. 2.1.

Для цього спочатку виставте мінімальну частоту, при якій фазовий зсув близький до і зображення на екрані залишається стійким. Збільшуючи поступово частоту генератора, знаходьте максимальну частоту, при якій амплітуда вихідного сигналу системи близька до 0. В отриманому діапазоні частот вибирайте 15–20 точок, у яких здійснюють вимірювання амплітуди і фази сигналів. За отриманими значеннями , побудуйте амплітудно-фазову частотну характеристику.

Таблиця 2.1 – Результати вимірів

№ точки	, мс	, 1/с	Авх, В	Авих, В	А(ω)= Авих/ Авх	L(ω)=20lgA(ω)

10 За отриманими результатами побудуйте графіки логарифмічної і фазової частотної характеристик.

Питання для перевірки та контролю

1 Який вигляд має передатна функція аперіодичної ланки першого порядку? Якими параметрами характеризується ця ланка?

2 Як змоделювати аперіодичну ланку із заданими параметрами?

3 Який вигляд має перехідна характеристика аперіодичної ланки першого порядку? Запишіть аналітичний вираз для побудови перехідної характеристики аперіодичної ланки першого порядку.

4 Як пов’язаний час перехідного процесу зі сталою часу аперіодичної ланки?

5 Що називається амплітудною характеристикою ланки? Який вигляд має АЧХ аперіодичної ланки першого порядку?

6 Поясніть поняття фазового зсуву між вхідним і вихідним сигналами. Що таке позитивний і негативний фазові зсуви?

7 Як за допомогою АОК-6 отримати АЧХ і ФЧХ?

8 Що таке логарифмічні частотні характеристики? У яких осях будуються ЛФЧХ?

9 Поясніть поняття частоти зрізу. Яке значення зсуву за фазою для аперіодичної ланки першого порядку на частоті зрізу?

10 Як побудувати асимптотичну ЛАЧХ аперіодичної ланки першого порядку? Запишіть аналітичні вирази для асимптот.