17. Критерии и числа гидродинамического подобия

Рассмотрим систему уравнений неразрывности, движения и энергии. Полные производные в левых частях уравнений (4.104) - (4.105) представим в виде суммы локальных и конвективных производных (см. формулу (1.45)). Размерные величины, входящие в эти уравнения, разделим на соответствующие масштабы:

,

где - температура стенки, обтекаемой жидкостью.

В результате получим систему безразмерных дифференциальных уравнений:

,

где ; ; ;

; ; ; ;

; ; ; ; ; ; ; .

Разделив обе части этих уравнений на соответствующие комплексы при конвективных членах, приведем систему уравнений к виду:

,

Введем обозначения безразмерных комплексов, входящих в полученные безразмерные уравнения и назовем их числами или критериями подобия:

(4.116)

С учетом этих обозначений система дифференциальных уравнений примет вид:

, (4.117)

(4.118)

(4.119)

К этой системе уравнений необходимо добавить еще безразмерные начальные и граничные условия.

Обобщенное решение полученной системы уравнений можно записать в виде функции:

. (4.120)

Для подобных течений в геометрически подобных областях числа подобия должны быть одинаковы, то есть должны выполняться условия:

,

где - латинское слово, обозначающее «то же самое».

Данные условия соответствуют полному подобию. Практически оно невыполнимо (оно выполняется только тогда, когда модель совпадает с натурой). На практике пользуются приближенным или частичным подобием. В этом случае добиваются, чтобы для модели и натуры были одинаковы только те критерии подобия, которые в исследуемой области течения существенно влияют на величину определяемого числа подобия. Критерии подобия, которые слабо или совсем не влияют в данной области течения на определяемое число подобия, называются неопределяющими и исключаются из критериального уравнения. Возможно существование областей значений определяющего критерия подобия, в которых он не влияет на величину определяемого числа подобия. Такие области называются автомодельными. В них подобие выполняется автоматически при любых значениях этого критерия подобия.

Часто используют числа подобия, получаемые из уже рассмотренных чисел подобия, например:

(4.121)

Из равенства тепловых потоков вблизи стенки можно найти число подобия, называемое числом Нуссельта:

;

. (4.122)

Гидродинамическое и тепловое подобие выполняются при подобии полей скорости и температуры, а также при равенстве соответствующих чисел подобия. Равенство одноименных чисел подобия означает равенство отношений соответствующих масштабов сил и потоков энергии в сходственных пространственно-временных точках подобных течений. Например, число Рейнольдса характеризует отношение масштабов сил инерции и сил вязкости, а число Пекле – отношение масштабов конвективного потока теплоты и потока теплоты, передаваемой за счет молекулярной теплопроводности (диффузии).

17. Основы теории размерности. Основные и производные единицы измерения. Формула размерности

Многие сложные процессы и явления не имеют математических моделей или уравнений, описывающих их поведение. В этом случае теория размерности является единственным источником, позволяющим получить критерии подобия, а также информацию о связи параметров, определяющих протекание процесса или развитие явления.

Введем ряд определений.

Единицей измерения называется мера или масщтаб, с помощью которых измеряются величины физических характеристик системы.

Установлено, что на практике достаточно иметь единицы измерения для трех величин. В физических исследованиях удобно за основные единицы измерения принять единицы массы, длины и времени. В системе единиц измерения СИ за основные механические единицы измерения взяты килограмм-масса, метр и секунда.

Величины, численное значение которых зависит от принятых масштабов измерения, то есть системы единиц измерения, называются размерными. В противном случае они называются безразмерными.

Единицы измерения подразделяются на основные (первичные) и производные (вторичные). Основные единицы измерения вводятся из опыта с помощью эталонов (например, эталоны массы, длины, времени). Производные единицы измерения получаются из определения их через основные (например, единица измерения скорости выводится через единицы измерения длины и времени).

Выражение производной единицы измерения через основные единицы называется размерностью. Для обозначения размерности какой-нибудь величины А часто пользуются символом [A] (читается – размерность величины А). Этот символ ввел в свое время Максвелл.

Зависимость единицы измерения производной величины от единиц измерения основных величин может быть представлена в виде формулы размерности. В теории размерности существует теорема, в которой доказывается, что формулы размерности физических величин должны иметь вид степенных одночленов, представляющих единственные комбинации размерностей основных величин в различных степенях. Например, формула размерности для производного параметра В имеет вид:

, (4.123)

где M, L, T – символы единиц измерения массы, длины и времени; - положительные, отрицательные, целые и дробные числа.

Следует отметить, что в качестве основных единиц измерения может быть выбрано число единиц измерения больше трех. Например, дополнительно к единицам измерения массы, длины и времени можно выбрать единицы измерения температуры (К, в градусах Кельвина) и тепловой энергии (Q, в ккал). В этом случае формула размерности будет представлять одночлен с большим числом аргументов:

,

где K, Q – символы единиц измерения температуры и тепловой энергии.

При этом необходимо помнить, что тепловая и механическая энергия, а также температура и механическая энергия связаны между собой соответственно механическим эквивалентом теплоты (J = 4,189 кДж/ккал) и постоянной Больцмана (К_б = 1,38·10^-23 Дж/град, где , m – масса молекулы, - средняя скорость молекулы). При выбранных независимых единицах измерения K и Q эти постоянные (J и К_б) необходимо считать физическими постоянными, причислять к определяющим параметрам и включать в аргументы рассматриваемых функциональных связей.

Следует отметить, что на практике часто вместо единиц измерения массы, длины и времени выбирают параметры, от которых зависит поведение процесса или явления. Эти параметры нужно выбирать так, чтобы их размерности были независимыми друг от друга (например, размерности параметров [A₁], [A₂], [A₃] независимы, так как [A₁] = кг/с, [A₂] = м/с, [A₃] = с).