Частные случаи решения уравнения Эйлера – интегралы
Лагранжа, Бернулли и Громека
Используя ранее полученные выражения для конвективного ускорения и полного ускорения, перепишем уравнение Эйлера (4.109) в форме, предложенной Громека и Ламбом:
. (4.110)
Воспользуемся функцией давления, справедливой для баротропных процессов (процессов, в которых плотность жидкости является только функцией давления):
.
Вычислим градиент функции давления:
. (4.111)
Полагая поле массовых сил потенциальным
(
)
и используя значение (4.111), получим из
формулы (4.110):
.
Умножим обе части этого уравнения
скалярно на вектор перемещения вдоль
линии тока
:
. (4.112)
Уравнение (4.112) имеет аналитическое решение, если его правая часть равна нулю, то есть:
.
Определитель равен нулю, если равны нулю элементы одной строки или элементы строк пропорциональны друг другу. Поэтому можно рассмотреть три частных случая движения жидкости:
или
.
Этот случай соответствует безвихревому
или потенциальному течению жидкости,
так как можно положить
,
где
- потенциал вектора скорости
(
).
или
,
где
- скалярный множитель. Эти соотношения
являются уравнением линии тока.
Следовательно, в этом случае жидкая
частица движется вдоль линии тока и, в
общем случае, произвольно вращается.
или
,
где
- скалярный множитель. Эти соотношения
являются одновременно уравнениями
вихревой линии и линии тока. Следовательно,
в этом случае жидкая частица движется
вдоль линии тока, совершая винтовое
движение (
).
В этих трех частных случаях уравнение (4.112) примет вид:
. (4.113)
В первом случае потенциального движения жидкости во всей расчетной области вектор скорости пропорционален градиенту скорости ( ). Тогда формулу (4.113) можно переписать в виде:
,
где
.
Интегрируя последнее уравнение, получим интеграл:
или
, (4.114)
где
;
- произвольная функция времени,
определяемая из начальных условий.
Интеграл (4.114), справедливый во всех точках расчетной области, называется интегралом Лагранжа.
Во втором и третьем случаях при
стационарном движении жидкой частицы
вдоль линии тока (
)
после упрощения (4.113) придем к уравнению:
.
После его интегрирования получим интеграл:
или
. (4.115)
Если жидкая частица движется вдоль линии тока с угловой скоростью не параллельной вектору скорости, то интеграл (4.115) называется интегралом Бернулли. Если вектор угловой скорости жидкой частицы параллелен вектору скорости (винтовое движение), то интеграл называется интегралом Громека.
Интегралы Бернулли и Громека справедливы при стационарном вихревом движении жидкости. Интеграл Лагранжа справедлив и для нестационарных, но безвихревых (потенциальных) течений. Если безвихревое течение жидкости стационарно, то интеграл Лагранжа по форме совпадает с интегралами Бернулли и Громека, но при этом принципиально отличается от них по сути – интеграл Лагранжа справедлив в любой точке потока, а интегралы Бернулли и Громека только вдоль линии тока. Константа интегрирования в стационарном интеграле Лагранжа имеет постоянное значение во всей области течения, а в интегралах Бернулли и Громека она не меняется только вдоль линии тока и принимает различные значения на других линиях тока.