4. Динамика вязкой жидкости

12. Система уравнений движения вязкой жидкости. Начальные и граничные условия

Напишем систему уравнений, описывающую движение вязкой жидкости, в декартовой системе координат (x, y, z), используя ранее полученные уравнения Навье-Стокса, энергии и неразрывности, а также присоединим к ним уравнение Клапейрона:

(4.104)

, (4.105)

, (4.106)

, (4.107)

где - внешняя тепловая мощность, подводимая к жидкой частице за счет потока Фурье.

Следует отметить, что при малой скорости движения жидкости вместо баланса полной энтальпии используется баланс энтальпии или внутренней энергии.

Система содержит шесть неизвестных - , а также шесть уравнений. Поэтому она является замкнутой.

Из теории дифференциальных уравнений известно, что их решения содержат произвольные функции и константы интегрирования. Для однозначного определения конкретного решения должны быть использованы начальные и граничные условия. Если движение жидкости стационарное, то начальные условия ставить не нужно.

Обычно начальное условие задается в виде распределения искомых неизвестных в области течения жидкости в начальный момент времени . В общем случае число и вид начальных условий зависит от порядка системы дифференциальных уравнений.

Граничные условия, как правило, включают условия на границах области течения – проницаемых и непроницаемых. На непроницаемых границах (твердых стенках) задаются условия прилипания жидкости, то есть скорость жидких частиц на них полагается равной скорости этих границ.

На проницаемой входной границе задается распределение скорости и температуры. На выходной проницаемой границе распределение искомых параметров обычно неизвестно. Поэтому на ней часто задают «мягкие» условия, например, типа - , где - координата вдоль направления внешней нормали в выходном сечении. Положение выходной границы подбирают таким, чтобы на ней все искомые величины на ней практически не изменялись.

При протекании жидкости через канал задают ее секундный массовый расход. Если течение имеет ось симметрии, то граничное условие ставят на ней в виде равества нулю градиентов искомых переменных в поперечном к оси направлении. Давление задают в кокой-либо одной точке вдали от обтекаемого тела или во входном сечении канала.

Граничные условия для температуры могут быть разнообразными. Обычно это либо распределение температуры на поверхности обтекаемого тела, либо распределение на ней коэффициента теплоотдачи.

12. Модель идеальной жидкости. Уравнение Эйлера

Модель идеальной жидкости является простейшей моделью текучей среды. Для нее постулируется отсутствие касательных напряжений. Принятое допущение равносильно условию отсутствия в идеальной жидкости трения. В модели ньютоновской жидкости отличными от нуля будут только нормальные напряжения, обусловленные давлением в жидкости. Поэтому, совершив предельный переход от вязкой жидкости к идеальной, получим:

или

. (4.108)

Уравнение Навье-Стокса, описывающее движение вязкой жидкости и записанное в векторной форме, имеет вид:

При выполнении условия (4.108) оно существенно упрощается:

. (4.109)

Полученное уравнение (4.109) называется уравнением Эйлера.

Так как идеальная жидкость лишена трения, то граничные условия на твердых непроницаемых стенках не могут быть условиями прилипания, которые справедливы только для вязкой жидкости. На таких стенках ставится условие непроницаемости или непротекания жидкости сквозь твердую поверхность, то есть уловие вида:

,

где - нормаль к твердой поверхности.

Следует также отметить, что уравнение Эйлера описывает движение как вихревой, так и безвихревой (потенциальной) идеальной жидкости.