Распределительная задача.
КТЗ обобщается в различных направлениях. Одним из наиболее часто встречающихся обобщений является так называемая распределительная задача. Далее будут рассмотрены некоторые практические задачи, приводящие к распределительной задаче или ее модификациям.
Распределение заказов по предприятиям.
Пусть имеется m видов
заказов, причем заказ i-того
вида необходимо выполнить в количестве
единиц (
).
Эти заказы могут быть размещены на n
предприятиях. Стоимость выполнения
единицы i-того вида
заказа на j-том
предприятии равна
.
Для производства единицы продукции
i-того вида на j-том
предприятии расходуется некоторый
ресурс в количестве
(например, сырье, трудовые ресурсы и
т.п.), причем для каждого предприятия
ресурс ограничен величиной
.
Необходимо распределить заказы по предприятиям так, чтобы выполнить все заказы имеющимися ресурсами предприятий и при этом суммарная стоимость выполнения заказов была бы минимальной.
Построение ММ.
Пусть - количество заказов вида i, выполняемых на j-том предприятии. Тогда ММ задачи будет иметь вид:
(1)
(2)
(3)
(4)
Здесь целевая функция (1) отображает
суммарную стоимость выполнения заказов.
Ограничения (2) требуют, чтобы расходуемые
ресурсы на предприятиях не превышали
заданной величины запасов. Ограничения
(3) требуют выполнения всех заказов в
необходимых объемах. Ограничения (4)
очевидны. Задача (1) –(4) относится к
классу ЗЛП. Она отличается от КТЗ
(открытой) тем, что коэффициент
.
К модели вида (1)-(4) сводится также известная задача о распределении самолетов по авиалиниям.
Распределение самолетов по авиалиниям.
Пусть имеются n типов
самолетов, которые должны быть использованы
для перевозки пассажиров по m
авиалиниям. Число самолетов j-того
типа равно
.
Исходя из данных о себестоимости
пассажирокилометра и коммерческой
загрузки каждого типа самолетов на
каждой авиалинии, устанавливаются:
месячные объемы
перевозок пассажиров одним самолетом
j-того типа по i-той
линии.
месячные затраты на эксплуатацию одного самолета j-того вида на i-той линии.
Предполагается также известным число
пассажиров
,
подлежащих перевозке в течение месяца
по i-той линии.
Необходимо распределить самолеты по авиалиниям для перевозки заданного количества пассажиров при минимальных затратах.
Построение ММ.
Обозначим через число самолетов j-того типа на i-той авиалинии. Тогда ММ задачи запишется:
(1)
(2)
(3)
, целые (4)
По физическому смыслу параметры этой задачи, как и в предыдущей, должны быть целыми числами. В отличие от КТЗ в распределительной задаче целочисленность решения не гарантируется, если это условие не включено в систему ограничений. Нарушение условия целочисленности в задачах подобного рода, когда не равные нулю принимают, вообще говоря, немалые значения, приводит как правило к несущественным отклонениям от оптимума. При дробных в качестве компонент решения задачи следует принимать ближайшие к ним целые числа. Требование целочисленности оказывается существенным, если значения ограничены малыми числами.
Планирование парка вагонов.
Одно из важнейших условий экономичной эксплуатации железных дорог заключается в рациональном планировании использования парка вагонов не только в пределах дороги, но и в пределах станции или узла. Под регулированием парка вагонов понимают распределение вагонов различных типов (крытых, полувагонов, платформ с разным числом осей и т.д.) под различные грузы.
Пусть имеются n видов вагонов , в которые могут быть погружены грузы m видов . Количество вагонов j-того вида составляет штук. Норма загрузки вагона j-того вида грузом i-того вида составляет . Количество грузов i-того вида, которое необходимо погрузить, определяется величиной . Эксплуатационные расходы на погрузку i-того вида груза в один вагон j-того типа составляет . Требуется определить такое распределение вагонов, при котором все грузы были бы погружены в имеющиеся вагоны, а суммарная стоимость погрузки всех грузов была бы минимальной.
Построение ММ.
Пусть - число вагонов j-того типа, выделенных под погрузку грузом i-того вида. Тогда ММ задачи запишется:
(1)
(2)
(3)
, (4)
Целевая функция (1) отражает суммарную стоимость погрузки всех грузов, ограничение (2) требует, чтобы грузы каждого вида были погружены полностью, ограничение (3) требует, чтобы грузы были погружены в имеющееся количество вагонов.
К задаче вида (1)-(4) сводятся также задачи планирования работы речного флота. Так при анализе практических проблем Волжского речного пароходства к распределительной задаче сведены задачи распределения однородного грузового флота по грузовым линиям, пассажирского флота по линиям, задачи распределения по объектам перегрузочных машин, дноуглубительных снарядов и т.д.