Метод отыскания путей минимальной стоимости.

Построение ММ. Узлы транспортной сети классифицируем следующим образом:

1. - множество узлов с излишками продукции, назовем их пунктами производства.

2. - множество узлов с нехваткой продукции, назовем их пунктами потребления.

На сети можно выделить совокупность путей, позволяющих перейти из пункта в пункт :

i j

Очевидно, стоимость перевозки единицы продукции будет зависеть от пути. Тогда естественно такую перевозку осуществлять по пути с минимальной стоимостью перевозок, т.е. по кратчайшему пути. Таким образом, возникает задача поиска кратчайшего пути между узлами и .

Пусть эта задача решена для любой пары (i,j), где и . При этом найдены величины - минимальные стоимости перевозок единицы продукции из пункта i в пункт j и естественно сами кратчайшие пути.

Пусть - объем перевозок из пункта i в пункт j по кратчайшему пути. Тогда оптимальные объемы перевозок по путям минимальной стоимости определяются из решения следующей КТЗ:

(1)

(2)

(3)

(4)

Т.О. в результате решения серии задач поиска кратчайшего пути для исходной транспортной сети, модель ТЗ в сетевой постановке сводится к КТЗ (1)-(4). Здесь в качестве производителей выступают узлы с излишками продукции, а в качестве потребителей – узлы с недостатком продукции.

Решение тз в сетевой постановке методом буферного запаса.

Построение ММ. При этом методе решения ТЗ узлы ТС классифицируются следующим образом:

1. Узел i называется источником, если существуют только выходящие из него дуги.

2. Узел i называется стоком, если существуют только входящие в него дуги.

3. Узел i называется промежуточным, если существуют и входящие в него, и исходящие из него дуги.

Обозначим: - множество истоков сети.

- множество стоков сети.

- множество промежуточных узлов сети.

Очевидно, что . Задача будет иметь решение лишь в том случае, если в каждом узле – источнике не будет недостатка продукции , а в каждом узле- стоке не будет излишков . Для каждого промежуточного узла запас продукции может быть любым .

Введем дополнительные обозначения:

- множество всех дуг сети,

- множество дуг, входящих в узел i.

- множество дуг, исходящих из узла i.

Пусть - объем перевозок по дуге . Тогда ММ ТЗ в сетевой постановке запишется:

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

В ММ целевая функция (1) выражает суммарную стоимость перевозок на сети. Ограничения (2) требуют вывозить все излишки продукции из узлов-истоков, а ограничения (3) – потребности всех узлов-стоков д.б. удовлетворены. Ограничения (4) для промежуточных узлов отражает тот факт, что разность между объемами вывозимой и ввозимой продукции должна равняться запасу продукции в этом узле (если в узле имелся избыток, то он будет вывезен, если недостаток - он удовлетворен).

ММ (1)-(5) относится к классу ЗЛП и может быть решена стандартными методами решения ЗЛП. Однако, если учитывать особенности ограничений (2)-(5), можно эту задачу свести к модели КТЗ. Тогда модель (1)-(5) будет решаться более эффективно методом потенциалов.

Действительно, уравнения (2) аналогичны уравнениям для пунктов производства КТЗ, т.е. суммарный объем вывоза продукции из узлов-истоков должен равняться запасу продукции в этих узлах. Также и уравнения (3) аналогичны уравнениям для пунктов потребления КТЗ, т.е. суммарный объем ввозимой в узлы-стоки продукции должен равняться нехватке продукции в этих узлах. Однако ограничения (4) выводят данную модель за рамки КТЗ.

Преобразуем данные ограничения таким образом, чтобы они не выводили задачу за рамки КТЗ.

Будем считать, что в каждом промежуточном пункте возможна перевозка со стоимостью перевозки единицы продукции . Также введем обозначения - буферный запас, т.е. общий объем излишков продукции.

Теперь уравнение (4) перепишем в виде:

₍₆₎

Разобьем это уравнение на два:

₍₇₎

₍₈₎

(9)

Уравнение (7) аналогично уравнениям (2), т.е. объем вывозимой продукции из узла равен имеющемуся там запасу . Уравнение (8) аналогично уравнениям (3), т.е. объем ввозимой продукции в узел равен потребности этого узла В.

Теперь вместо исходной модели рассмотрим ММ (1)-(3), (5), (7)-(9). Это модель КТЗ, в которой пунктами производства являются все источники с объемами производства и все промежуточные пункты с объемами производства , а пунктами потребления являются все стоки с объемами потребления и все промежуточные пункты с объемами потребления В.

Допустим, эта модель КТЗ решена и найдены оптимальные значения и . Будут ли значения и образовывать решение исходной модели (1)-(5). ДА! Положительный ответ на этот вопрос дает тот факт, что задача (1)-(5) эквивалентна задаче (1)-(3), (5), (7)-(9). Покажем, что это действительно так.

Пусть удовлетворяет ограничениям (2)-(5), тогда они удовлетворяют ограничениям и второй задачи (2),(3), (5), (7)-(9). Из уравнения (8) следует, что

₍₁₀₎

_{Знак 0 следует из того, что суммарный объем ввоза в любой узел не может быть больше буферного запаса В. Т.о. выполняется ограничение (9).}

_{Подставляя (10) в (7), получим тождество:}

₍₁₁₎

_{т.е. получим уравнение (4), которое удовлетворяется в силу того, что} удовлетворяет ограничениям (4). Следовательно, удовлетворяет и ограничениям (7)-(9). Остальные ограничения (2), (3) являются общими для обеих задач. Следовательно, допустимые планы исходной задачи являются допустимыми и для (1)-(3), (5), (7)-(9).

Аналогично доказывается, что если и удовлетворяют ограничениям второй задачи, то они удовлетворяют и ограничениям первой задачи (1)-(5). Для этого достаточно вычесть из (7) уравнение (8). В результате получается уравнение (4).

В обеих задачах минимизируется одна и та же целевая функция. Т.О. (1)-(5) эквивалентна (1)-(3), (5), (7)-(9).

Сравнение методов путей минимальной стоимости и буферного запаса.

При методе поиска кратчайшего пути пунктами производства являются пункты с положительными запасами, а пунктами потребления – с отрицательными. Обычно таких узлов в сети значительно меньше общего числа узлов. Поэтому получаемая в результате КТЗ имеет меньшую размерность, чем при методе буферного запаса. Так как в методе БЗ промежуточные пункты выступают и как пункты производства, и как пункты потребления. Однако в первом случае необходимо предварительно решать столько задач поиска кратчайших путей, сколько имеется в сети пар узлов с положительными и отрицательными запасами.

Кроме того, очень часто встречаются ТЗ, в которых наложены ограничения на пропускную способность дуг:

.

При использовании метода буферного запаса наличие таких ограничений легко учитывается, а при использовании метода путей минимальной стоимости приходится вводить доп. ограничения, выводящие задачу за рамки КТЗ.