Задача о назначениях. (Задача выбора)
Постановка задачи. Пусть имеется
n заказов с номерами
и имеются n исполнителей
с номерами
,
т.е. число заказов равно числу исполнителей.
Любой заказ м.б. выполнен любым
исполнителем, при этом стоимость
выполнения i–того
заказа j-тым исполнителем
равна
.
Необходимо закрепить заказы за
исполнителями так, чтобы все заказы
были выполнены, у всех исполнителей был
заказ, а суммарная стоимость выполнения
заказов была бы минимальной.
Построим ММ задачи.
Пусть
Тогда модель задачи о назначениях запишется в виде:
(1)
(2)
(3)
(4)
Здесь целевая функция (1) выражает суммарную стоимость выполнения заказов, ограничения (2) требуют, чтобы у каждого заказа был исполнитель, а ограничения (3) – чтобы у каждого исполнителя был заказ.
Модель (1)-(4) относится к классу задач линейного целочисленного, а именно булевского, программирования. Решение такого класса задач является очень трудоемким и за приемлемое время можно получить решение лишь для задач небольшой размерности. Однако задача (1)-(4) имеет особенности, которые позволяют свести ее к КТЗ. Для этого условие (4) записывается условно как:
(5).
Тогда задача (1)-(3), (5) является частным
случаем КТЗ при m=n,
.
Пусть эта задача решена методом
потенциалов и получено решение
.
Будет ли это решение являться и решением
исходной задачи (1)-(4)? ДА!
На основании теоремы о целочисленности решения КТЗ значения целые. Они удовлетворяют ограничениям (2), (3). Но сумма неотрицательных целых чисел очевидно будет равна 1 только тогда, когда слагаемые равны 0 и 1, т.е. . Таким образом выполняется условие (4).
Если число заказов больше или меньше числа исполнителей, то вводят либо фиктивных исполнителей, либо фиктивные заказы.
Примечание. Таким образом, задачу о назначениях можно решить как КТЗ. Однако существуют специальные более эффективные методы. Один из таких алгоритмов известен под названием «Венгерский метод» (см. Таха Х. «Введение в ТПР»).
Транспортная задача в сетевой постановке (с промежуточными пунктами).
В КТЗ продукция перевозится непосредственно из любого пункта производства в любой пункт потребления. Однако в реальных задачах перевозка грузов производится по различным коммуникациям. Из данного пункта производства в данный пункт потребления можно попасть различными путями, побывав в других промежуточных пунктах. Например: Заводы- Оптовые базы- Потребители.
П
остановка
задачи. Пусть дана транспортная
сеть, т. е. совокупность множества узлов
и направленных дуг, соединяющих эти
узлы между собой. Узлы сети пронумерованы
как
,
каждый узел сети означает некоторый
пункт. Если узел i соединен с узлом
j дугой (i,j), то это означает
возможность непосредственного движения
из пункта i в пункт j. Каждый узел
i взвешен числом
,
означающим объем продукции в этом
пункте. Если
,
то в этом пункте имеется излишек
продукции, а если
,
то недостаток продукции в количестве
.
Если же
,
то в этом пункте нет ни излишка, ни
недостатка. Будем считать, что
,
т.е. суммарный излишек продукции равен
суммарной потребности. Каждая дуга
(i,j) взвешена числом
-
стоимостью перевозки единицы продукции
по дуге (i,j). В общем случае
.
В транспортной сети присутствуют дуги
в виде петель.
Требуется найти такой план перевозок из пунктов с излишками в пункты с недостатками, чтобы суммарная стоимость перевозок была наименьшей.
В настоящее время для решения таких задач существуют достаточно эффективные алгоритмы, основанные на модификации метода последовательного улучшения плана ЗЛП.
Рассмотрим два способа решения транспортной задачи в сетевой постановке, основанные на ее сведении к КТЗ: метод отыскания путей минимальной стоимости и метод буферного запаса.