Открытая модель ктз.
Модель закрытой КТЗ имеет вид:
(1)
(2)
(3)
(4)
Если в КТЗ условие баланса не выполняется,
т.е.
,
а именно так чаще всего и случается на
практике, то такую модель КТЗ называют
открытой.
При этом возможны два случая: суммарный
объем производимой продукции превышает
суммарный объем потребления
(перепроизводство)
и суммарный объем производимой продукции
меньше суммарного объема потребления
(дефицит).
1.Рассмотрим первый случай: .
В этом случае не обязательно вывозить всю продукцию из всех пунктов производства. Тогда в модели (1)-(4) вместо ограничения (2) будет стоять следующее:
(5).
Для решения открытой КТЗ (1),(5),(3), (4)
необходимо свести ее к закрытой КТЗ.
Для этого добавляется фиктивный пункт
потребления с номером
с потреблением
.
Чтобы объемы фиктивных перевозок не
меняли значение целевой функции,
стоимость перевозки в фиктивный пункт
полагают равной нулю:
Тогда ограничение (5) превращается в ограничение вида:
(6)
Таким образом, получаем закрытую модель
КТЗ. Пусть задача (1), (6), (3), (4) решена и
найдены оптимальные значения перевозок
.Эти
значения позволяют принять и дополнительное
решение: в каких пунктах и насколько
сократить объем производства. Если
,
то в i–том пункте
производства нужно сократить выпуск
продукции на величину
.
Однако такое сокращение будет оптимальным
только с точки зрения транспортных
расходов. При принятии решения о
сокращении производства необходимо
еще учитывать себестоимость производства
продукции. Если затраты на производство
единицы продукции в i–том
пункте обозначить
и включить их в состав транспортных
затрат
,
то получится задача о сокращении
производства.
2.Теперь рассмотрим случай дефицита производства, когда .
В этом случае невозможно удовлетворить запросы всех пунктов потребления, поэтому в модели (1)-(4) ограничение (3) примет вид:
(7).
Эта задача также сводится к закрытой
КТЗ путем введения фиктивного пункта
производства с номером
с объемом производства
.
Тогда ограничение (7) превращается в ограничение вида (8):
(8).
Теперь необходимо задать стоимость
перевозок из фиктивного пункта
.
Если в случае перепроизводства для
исследователя операций было все равно,
в каком пункте останется излишек
продукции, то в данном случае не все
равно, потребности каких пунктов будут
удовлетворены. Если потребность
какого-либо j–того
пункта необходимо удовлетворить
полностью, то перевозки из фиктивного
пункта производства в этот пункт
потребления необходимо запретить, т.е.
нужно, чтобы в оптимальном плане
.
Для этого полагаем стоимость перевозки
.
Если же потребность j–того
пункта необязательно удовлетворять,
то полагают
.
Теорема о целочисленности решения ктз.
Если в КТЗ (1)-(4) значения
целые, то и оптимальный план КТЗ будет
целочисленным.
Доказательство. Пусть
-
целые числа и КТЗ решена методом
потенциалов. Начальный опорный план
такой задачи будет целочисленным, так
как при его построении в каждой клетке
назначалась целочисленная переменная
.
При переходе к лучшему опорному плану
вычислялась добавка Q=min{
},
поэтому Q также будет
целым. Это целое число либо прибавляется
к компонентам опорного плана, либо
вычитается из них. Т.о. все рассматриваемые
в ходе решения задачи опорные планы
будут целочисленными. Следовательно,
и оптимальный план будет целочисленным.