4.7 Врахування кривизни земної поверхні при визначенні

горизонтальних відстаней та висот

Еліпсоїдна земна поверхня проектується на площину з певним до-

пущенням, що пов'язане з нерівністю довжини дуги довжині дотичної В'C

(рис.4.8).

A′

d

C

d

B′

∆h

l

l

A

B

R

α

O

Рисунок 4.8 - Вплив кривизни Землі на визначення горизонтальних

та вертикальних відстаней

При вирішенні топографічних задач на місцевості необхідно знати

38

розміри ділянки земної поверхні, яку практично можна прийняти за пло-

щину.

Якщо Землю прийняти за кулю з радіусом R, то абсолютна похибка

від заміни частини кулі дотичною до неї площиною буде рівна різниці

∆d = l – d ,

(4.4)

де l - довжина дуги; d - довжина дотичної, що визначаються за формулами

d = R ∗ tg α,

(4.5)

l = R ∗ α ,

(4.6)

де α - центральний кут в радіанах, величина якого мала; тоді можна вико-

ристовувати відомий математичний вираз

d2

d3

tg α = α +

+

+ … .

(4.7)

3

4

Довжина дотичної з урахуванням (4.7)

3

l

l

3

l

d = R (

+

) = l +

,

(4.8)

2

R

3R

2

3R

Тоді абсолютна похибка

3

2

∆d = l /3 ∗ R ,

(4.9)

а відносна похибка

∆ d / 1 = 12 / 3R2 .

(4.10)

Таблиця 4.2 - Абсолютна та відносна похибки

Розміри ділянки, км 10

25 50

Абсолютна похибка, км 0,82

12,8

103,0

Відносна похибка

1:1 200 000

1:1 200 000

1:50 000

Дані таблиці 4.2 свідчать, що вплив заміни частини поверхні дотич-

ною до неї площиною при визначенні горизонтальних відстаней на ділянці

до 10 км незначний. Розміри такої ділянки можна прийняти за площину

при найточніших вимірюваннях горизонтальних відстаней на земній пове-

рхні.

Відрізок ∆h (рис. 4.8) характеризує вплив кривизни Землі на визна-

чення висот точок земної поверхні. З прямокутника OCB

d2 = (R + ∆h)2 − R2 = ∆h2 + 2*R*∆h ,

(4.11)

39

З рівняння (4.11) отримуємо

2

∆h = d / ( 2R + ∆h ) ,

(4.12)

Оскільки величина ∆h мала в порівнянні з радіусом Землі, то можна

записати

∆h d2

=

/ 2R .

(4.13)

Таблиця 4.3 - Влив кривизни на визначення висот

Відстань в , м

100

1000

2 000 5 000 10 000

Абсолютна похибка ∆h, см

0,08 7,8 31 105 780

Враховуючи, що при топографо-геодезичних роботах точність ви-

значення висот 1-2 см, то обов’язково необхідно врахувати поправку на

кривизну Землі при визначенні перевищень.

КОНТРОЛЬНІ ЗАПИТАННЯ ДЛЯ ПЕРЕВІРКИ ЗНАНЬ

1. Охарактеризуйте основні лінії та площини еліпсоїда.

2. Дайте означення геодезичних й астрономічних широти та довготи.

3. Поясніть суть плоских прямокутних координат.

4. Розкрийте суть полярних й біполярних координат.

5. Що таке висота точки й перевищення?

6. Охарактеризуйте систему координат Гаусса-Крюгера.

7. Які величини спотворюються в системі координат Гаусса-Крюгера?

8. Навіщо осьовий меридіан зони умовно зміщують на 500 км?

9. Як враховується кривизна Земної поверхні при визначенні горизонталь-

них відстаней на висот?

40