Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное бюджетное учреждение

Высшего профессионального образования

Российский государственный гуманитарный университет

Институт информационных наук и технологии безопасности

Факультет информатики

Кафедра программной инженерии

Лабораторная работа №1

«Задача об остывающей чашке с кофе»

по дисциплине «Математическое моделирование»

Подготовила:

студентка 5-го кураса, 3-й группы (ПМ)

Агаджанян Л.М.

Проверила:

д.ф.-м.н., профессор

Воронова Лилия Ивановна

Москва, 2012 г.

Оглавление

Цель 3

Обследование объекта моделирования и формулировка технического задания на разработку модели (содержательная постановка задачи) 3

Концептуальная постановка задачи моделирования 3

Математическая постановка задачи моделирования 4

Выбор метода решения задачи 4

Спецификация задачи моделирования 5

Алгоритм решения задачи 6

Результаты моделирования 6

Проверка адекватности модели 7

Анализ данных 8

t=0.1 temp=71.7229 dif= 0.219741 - 0.305439% 10

t=0.05 temp=71.8327 dif= 0.10989 - 0.152747% 10

t=0.025 temp=71.8876 dif= 0.054959 - 0.0763928% 10

t=0.0125 temp=71.9151 dif= 0.027492 - 0.0382138% 10

t=0.00625 temp=71.9288 dif= 0.0137582 - 0.0191238% 10

Выводы: 10

Приложение (Код программы) 11

Цель

На основании исходных данных поставить техническую задачу, описывающую процесс остывания чашки с кофе, решить её и разработать математическую модель позволяющую описать процесс изменения температуры кофе с течением времени при заданных начальных условиях. На основании результатов моделирования постараться ответить на вопрос – «что лучше - добавить молоко сразу после приготовления кофе или немного подождать, прежде чем добавлять молоко?»

Обследование объекта моделирования и формулировка технического задания на разработку модели (содержательная постановка задачи)

Формулировка:

Разработать математическую модель, позволяющую описать процесс остывания чашки кофе с течением времени. Модель должна позволять вычислять температуру кофе в любой момент времени при различных начальных параметрах.

Исходные данные:

1. Температура окружающей среды;

2. Температура чашки с кофе;

3. Начальный момент времени;

4. Коэффициент остывания;

5. Шаг по времени;

6. Конечное время остывания.

Концептуальная постановка задачи моделирования

Остывание тела может быть описано в соответствии с законом теплопроводности Ньютона.

Примем следующие гипотезы:

1. объектом моделирования является чашка с кофе ;

2. разность температур между объектом и окружающей средой не очень велика;

3. скорость изменения температуры объекта будем считать пропорциональной разности температур между объектом и окружающей средой;

В соответствии с изложенными гипотезами в качестве параметров остывания чашки кофе можно использовать время остывания t и температуру T. Тогда для определения температуры кофе в любой момент времени достаточно описать закон теплопроводности, т.е. найти зависимость температуры T от времени t.

Теперь можно сформулировать концептуальную постановку задачи об остывающей чашке с кофе в следующем виде:

определить закон теплопроводности, если известны начальная температура чашки T, температура окружающей среды и коэффициент остываения r.

Математическая постановка задачи моделирования

Математическая модель для задачи остывания тела в виде обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка в простейшем случае, когда температура является только функцией времени, была получена в виде:

где коэффициент r, имеющий размерность , назван коэффициентом остывания, Т - температура тела, Т_s - температура окружающей среды.

Таким образом, концептуальная постановка задачи свелась к закону теплопроводности Ньютона.

Выбор метода решения задачи

Типичный метод численного решения дифференциальных уравнений включает в себя преобразование дифференциального уравнения в конечно-разностное. Проанализируем уравнение (2) Положим, что при х=х₀ функция у принимает значение у₀. Поскольку уравнение (2) описывает изменение функции у в точке х₀, то можно найти приближенное значение функции у в ближайшей точке , если приращение аргумента мало. В первом приближении предполагается, что функция g(x), или скорость изменения у, постоянна на отрезке от х₀ до х₁. В этом случае приближенное значение функции у в точке , определяется выражением

(3)

Мы можем повторить эту процедуру еще раз и найти значение у в точке :

(4)

Очевидным образом это правило можно обобщить и вычислить приближенное значение функции в любой точке по итерационной формуле

(n = 0, 1, 2 ...). (5)

Данный метод называется методом касательных, или методом Эйлера. Можно предположить, что метод будет давать хорошее приближение к “истинному” значению функции у, если приращение аргумента достаточно мало. Степень “малости” определяется нашими требованиями и может не конкретизироваться до тех пор, пока метод не применяется при решении конкретных задач.

В методе Эйлера предполагается, что скорость изменения функции у на отрезке от х_n-1 до х_n постоянна, а наклон касательной вычисляется в начальной точке отрезка. Графическая интерпретация выражения (5) приведена на рис. 1. Понятно, что в случае, когда наклон касательной меняется на некотором отрезке, появляется отклонение от точного решения. Тем не менее, это отклонение можно уменьшить, если выбрать меньшее значение .

Рисунок 1 Графическая интерпретация метода Эйлера. Наклон касательной вычисляется в начальной точке интервала. Приближению Эйлера и истинной функции соответствуют прямая и кривая линии

Таким образом, задача об остывающей чашке кофе свелась к решению дифференциального уравнения методо Эйлера.