§2.4. Поняття про коректність постановки крайової задачі

При розв’язуванні крайових задач

1. Потрібно впевнитись, що додаткові умови є достатніми для виділення однозначного розв’язку. Це здійснюється доведенням теореми єдиності розв’язку.

2. Потрібно впевнитись, що серед додаткових умов немає суперечливих. Це здійснюється доведенням теореми про існування розв’язку.

Відразу звернемо увагу на другий пункт і відмітимо, що для мішаних крайових задач він включає умову узгодженості початкових та граничних умов. Тобто, на межі області розв’язку задачі початкові умови мають дорівнювати граничним умовам, обчисленим в початковий момент часу.

Будь-який фізичний процес, який неперервно розвивається в часі повинен характеризуватись функціями, які неперервно залежать від додаткових даних задачі. Якщо це не виконується, то два фізично різні процеси можуть характеризуватись практично однаковими додатковими даними. Це приводить до поняття стійкості крайової задачі.

Крайова задача називається стійкою, якщо її розв’язок неперервно залежить від додаткових даних задачі (початкових та граничних умов, а також від інтенсивності зовнішніх сил ).

Крайова задача називається коректною, якщо 1) її розв’язок існує; 2) він єдиний; 3) він стійкий.

Дослідження питань коректності крайових задач здійснюється в рамках так званої якісної теорії рівнянь математичної фізики.

§2.5. Некоректні задачі математичної фізики

Вперше поняття коректно поставлених та некоректно поставлених задач ввів Жак Адамар [1, 52]. Виконання умов коректності здавалось настільки природним для „розумної” математичної задачі, що Адамар висловив думку про нефізичність будь-якої некоректної задачі, тобто задачі, яка не задовольняє всім вимогам 1)-3). Йому ж належить класичний приклад некоректної задачі – задача Коші для рівняння Лапласа. Але як потім виявилось, необхідність розв’язання саме цієї задачі виникає в самих різноманітних областях математики та природничих наук в цілому. Так, до розв’язання задачі Коші для рівняння Лапласа зводиться проблема продовження аналітичних функцій, ряд геофізичних задач, задачі обтікання тіл надзвуковим потоком та ін. Задача Коші для рівняння Лапласа стала модельною в багатьох наукових дослідженнях [19]. Вона полягає у відшуканні функції , яка є розв’язком рівняння Лапласа

і задовольняє початковим умовам

де - задані функції.

Якщо покласти і , то розв’язком вищенаведеної задачі буде функція .

Якщо покласти і , то розв’язком такої задачі Коші буде функція .

Дослідимо відхилення початкових даних та розв’язків в метриці . Маємо

Остання величина при достатньо великих значеннях може бути зроблена як завгодно малою. Однак, відхилення розв’язків може бути як завгодно великим навіть при досить великих значеннях числа . Таким чином, дана задача не володіє властивістю стійкості і, відповідно, є некоректною.

З елементами теорії некоректних задач математичної фізики та методами їх розв’язання можна ознайомитись, наприклад в [30, 48].