§11.3. Фундаментальний розв’язок рівняння Лапласа

Розглянемо функцію

(11.6)

Тут , , .

Покажемо, що функція (11.6) задовольняє рівняння Лапласа (11.2). Маємо

Отже, функція задовольняє рівняння Лапласа як функція точки . Оскільки є симетричною відносно точок і , то можна показати, що вона також задовольняє рівняння Лапласа як функція точки .

Функція , визначена формулою (11.6), називається елементарним або фундаментальним розв’язком рівняння Лапласа.

Тема 12. Принцип максимуму та коректність крайових задач для рівнянь еліптичного типу

§12.1. Принцип максимуму та його наслідки

Функція називається гармонічною в обмеженій області , якщо вона двічі неперервно диференційована в цій області по кожній змінній і є розв’язком рівняння Лапласа . (12.1)

Функція називається гармонічною в необмеженій області , якщо в усіх точках даної області, які знаходяться на скінченній відстані від початку координат, вона є двічі неперервно диференційовною по кожній змінній, задовольняє рівняння Лапласа (12.1) і для досить великих виконується умова регулярності на нескінченності (12.2) де – деяка додатна константа.

Розглянемо деяку область , обмежену кусково-гладкою поверхнею . Нехай - доповнює область до всього простору. Крайові задачі для рівнянь еліптичного типу всередині області називаються внутрішніми. Аналогічно ставляться крайові задачі для еліптичних рівнянь у випадку необмеженої області . Лише вимагається виконання умови регулярності на нескінченності (12.2). Такі крайові задачі називаються зовнішніми.

Теорема 12.1 (принцип максимуму). Гармонічна в обмеженій області і неперервна в функція досягає свого найбільшого та найменшого значення на межі даної області.

Доведення проведемо для тривимірного випадку. Позначимо через найбільше значення гармонічної функції на межі області . Припустимо, що існує точка , в якій функція приймає значення . Тобто, . Розглянемо допоміжну функцію

де – діаметр області ; . Оскільки , то функція на поверхні задовольняє нерівності

З іншого боку Отже, функція свого найбільшого значення досягає в деякій внутрішній точці області . Нехай цією точкою буде Тоді в точці виконуються наступні умови:

Отже, . Але, з іншого боку, в будь-якій точці

для всіх , в тому числі і для точки Отримали протиріччя, яке доводить, що максимум функція досягає на межі області .

Щоб довести аналогічне твердження для мінімуму, достатньо застосувати вищенаведені результати для гармонічної функції .

Теорема 12.1 доведена.

Наслідок 12.1. Нехай функції та є гармонічними в обмеженій області і неперервними в її замиканні . Якщо при виконується нерівність , то дана нерівність справедлива при всіх .

Наслідок 12.2. Нехай функції та є гармонічними в обмеженій області і неперервними в . Якщо при , то дана нерівність має місце при всіх .