Від автора

Цей навчальний посібник є вступом до теорії рівнянь математичної фізики. Математична фізика – це потужне джерело, яке живить вже декілька століть дослідження як в прикладній, так і в “чистій” математиці. І витоки даного джерела знаходяться в реальних проблемах людини.

Автор намагався зробити викладки якомога простішими і не ставив за мету охопити всі аспекти сучасної теорії рівнянь математичної фізики. Із-за необхідності обмежитись викладеним матеріалом авторові довелося лише констатувати деякі математичні факти, а для їх обґрунтування та детального ознайомлення читачам доведеться звернутись до наведених в посібнику літературних джерел, базовими серед яких є [5, 6, 8, 18, 34, 36, 45, 49].

Даний посібник написано на основі семестрового курсу лекцій, який читається автором в Національному університеті водного господарства та природокористування для студентів за напрямом підготовки 0802‑“Прикладна математика” освітньо-кваліфікаційного рівня „бакалавр”. Сподіваюсь, він також буде корисним для студентів споріднених спеціальностей. Зазначу, що даний посібник був би лише ідеєю без підтримки студентів вищезгаданої спеціальності, зокрема Валентини Король, а також співробітників кафедри прикладної математики Тетяни Юріївни Бабич, Вікторії Іванівни Рижук та декана факультету прикладної математики і комп’ютерно-інтегрованих систем, завідувача кафедри прикладної математики, доктора технічних наук, професора Анатолія Павловича Власюка. Висловлюю їм щиру подяку.

Також буду вдячним за всі подальші зауваження, які допоможуть в майбутньому поліпшити цей посібник.

Вступ

З нашого повсякденного життя відомий такий „феномен”: зранку, йдучи на навчання, ми, бажаючи покуштувати гарячого чаю чи кави, ставимо чайник на вогонь. Вогонь підігріває лише дно чайника, але з часом чайник нагрівається весь і врешті-решт закипає! „Та це ж звичайний закон фізики”, - відповісте ви. Так! І напевно викликало б здивування (якщо не сміх) ставити задачу про обрахунок швидкості нагрівання чайника. Але все ж деяка користь з цього прикладу є – ми згадали одне з ключових слів, з якого все починається – „фізика”.

Розглянемо другий приклад. Фермер, який має поле поблизу ставка, в якому всі полюбляють рибалити, для знищення бур'янів та шкідників використовує отрутохімікати. А потім ваш тато, який працює в хімічній лабораторії, говорить, що в наловленій вами рибі вміст шкідливих речовин перевищує допустимі норми в декілька разів. То як же хімікати потрапили з поля у ваш ставок? Разом з водою? Так. Але чи лише за рахунок води? І яким чином забруднена вода з поля потрапила у ставок? Цю низку питань можна продовжити, але висновок тут один – без серйозних математичних розрахунків неможливо спрогнозувати розвиток складних фізичних процесів. Так ми підійшли до другого ключового слова – „математика”.

Нас цікавить поєднання фізики та математики. Рівняння, початкові відомості про які ви знайдете в даному посібнику, та інтерес до них виникли з практичних потреб людини. Наприкінці XVII століття потреби практики, обумовлені технічним прогресом, поставили перед математиками велике коло нових задач. Фізики були одними з тих, хто дав математикам поштовх до дослідження прикладних проблем, опис яких ви знайдете на сторінках даного посібника. Тому і називаємо - рівняння ... фізики, але не звичайної, а математичної. Методи дослідження цих рівнянь беруть життєдайну силу саме з глибин математики і, з другого боку, є рушійною силою розвитку самої математики вже декілька століть.

На початку XVIII століття, багато в чому завдяки працям І.Ньютона та Г.Лейбніца, почався бурхливий розвиток диференціального та інтегрального числення [36]. Адже розвиток досліджень в математичній фізиці нерозривно пов’язаний з дослідженнями у вищевказаних областях. Однією з перших задач математичної фізики була задача про коливання струни (див. тема 2). На неї звернув увагу ще Г.Галілей, але перший крок до її розв’язання зробив Б.Тейлор. Далі значний внесок в дану задачу зробив Ж.Д’Аламбер, започаткувавши розвиток так званого методу характеристик (або методу Д’Аламбера), аналітичну розробку якого завершив Л.Ейлер. Взагалі дослідження Л.Ейлера, з огляду на застосування та вплив на подальший розвиток рівнянь математичної фізики, були надзвичайно важливими. Варто відзначити роботу Ейлера над задачею згину призматичних стержнів. Треба було визначити критичну силу, під впливом якої стиснений з обох кінців стержень втрачає стійкість. Важливість цієї задачі (з погляду практики) з’ясували значно пізніше – в другій половині XIX століття, коли великі катастрофи на будівництвах мостів та інших споруд примусили звернутись до забутих досліджень видатного математика.

Розвиток досліджень методів класичної математичної фізики також пов’язаний з іменами Ж.Лагранжа, П.Лапласа, Д.Бернуллі, І.Бернуллі, Я.Бернуллі. Взагалі для XVIII століття характерна велика кількість блискучих результатів з різних розділів математики та її застосувань.

Нові ідеї в теорію математичної фізики були внесені в першій половині XIX століття, частково у зв’язку із загальною реформою математичного аналізу, з новими блискучими фізичними відкриттями і новими проблемами природознавства (в 1808 році Малю відкриває явище поляризації світла; в 1820 році Х.Ерстед відкрив основне явище електромагнетизму; з 1822 по 1826 рік Ампер дає пояснення електромагнетизму і т.д).

Далі значний внесок в розвиток рівнянь математичної фізики зробили Г.Грін, М.Остроградський, К.Гаусс, С.Пуассон, Ж.Фур'є, О.Коші, С.Ковалевська, Б.Ріман, Г.Кірхгоф, Ж.Адамар, Ж.Штурм, Ж.Ліувілль, В.Стєклов та ін. Кінець XIX століття відзначався створенням теорії інтегральних рівнянь, які швидко стали потужним засобом для дослідження задач математичної фізики. Перші результати з теорії інтегральних рівнянь отримав В.Вольтерра в 1896 році. А створенням загальної теорії інтегральних рівнянь математика зобов’язана І.Фредгольму, який опублікував свою теорію в 1903 році.

ХХ століття внесло в розвиток рівнянь математичної фізики свої специфічні особливості. Потрібно відзначити зростання інтересу до якісної теорії рівнянь математичної фізики (тобто, доведення існування та єдиності розв’язку того чи іншого рівняння).

Практика в ХХ столітті поставила перед математиками складні задачі з математичної фізики, навіть занадто складні, щоб їх можна було розв’язати точними аналітичними методами. Тому поступово, а особливо після створення перших електронно-обчислювальних машин, все більшого розвитку набув напрямок, пов’язаний з наближеним обчисленням розв’язків рівнянь математичної фізики. Тому, починаючи з середини ХХ століття, бурхливого розвитку набули наближені аналітичні та числові методи розв’язання рівнянь математичної фізики (варто згадати метод малого параметру, метод ортогональних проекцій, метод скінченних різниць, методи скінченних та граничних елементів та ін.). Це аж ніяк не відсунуло теоретичні дослідження на задній план. Навпаки, були поставлені нові задачі з теоретичного обґрунтування наближених методів. І багато з даних задач не розв’язані по цей день.

Нові щаблі технічного та соціального прогресу XXI століття відкривають перед людиною не лише нові можливості, а й ставлять нові проблеми. Чого варта хоча б екологічна проблема (згадайте приклад з рибою, яку ви наловили в ставку). І тут математика надає людині потужний засіб, якщо не для повного вирішення, то для дослідження нагальних проблем – теорію рівнянь математичної фізики.

розділ 1

Класифікація диференціальних рівнянь з частинними похідними другого порядку з двома незалежними змінними