§ 5.2. Спеціальні функції математичної фізики

При розв’язуванні задач математичної фізики методом розділення змінних (методом Фур’є) в областях з круговою, циліндричною або сферичною симетріями виникає необхідність використання спеціальних функцій.

Рівняння (5.1) називається загальним рівнянням теорії спеціальних функцій. Спеціальні функції – це розв’язки задачі Штурма–Ліувілля для деяких часткових випадків рівняння (5.1). Розглянемо деякі з них.

1)

Рівняння (5.1) в даному випадку набуває вигляду

(5.5)

Також будемо вимагати виконання граничних умов

(5.6)

Введемо заміну змінних . Тоді з (5.5) маємо

(5.7)

Рівняння (5.7) називається рівнянням Бесселя порядку . Розв‘язком рівняння (5.7) при виконанні першої з умов (5.6) є функції Бесселя першого роду (див., наприклад, [1, 18, 31, 49]), які для та визначаються за формулою

Повертаючись до заміни і використовуючи другу з граничних умов (5.6), маємо

або

де Якщо ‑ -й додатний корінь вищенаведеного рівняння, то

будуть відповідно власними числами та власними функціями задачі Штурма-Ліувілля (5.5), (5.6).

2)

Власні числа й власні функції задачі Штурма-Ліувілля для рівняння (5.1)

(5.8)

мають вигляд

, ,

де - многочлени Лежандра, які визначаються за формулою . Рівняння (5.8) називається рівнянням Лежандра нульового порядку.

3) ( – ціле), .

Задача Штурма-Ліувілля для рівняння (5.1)

(5.9)

має власні числа і функції

,

де – приєднані функції Лежандра, які визначаються наступним чином:

Рівняння (5.9) називається рівнянням Лежандра порядку .

Тема 6. Позначення та криволінійні координати в математичній фізиці

§ 6.1. Диференціальні операції в криволінійних координатах

Нехай в деякій області D задано функцію

Градієнтом скалярної функції називається вектор , де ‑ одиничні вектори або орти відповідних осей декартової системи координат.

Оператором Гамільтона (гамільтоніаном) (позначається символом “набла”) називається наступна символічна операція: .

Тобто, . Градієнт скалярної функції u – це вектор, який визначає напрям найшвидшого росту функції. В зв’язку з цим визначають похідну за напрямком

.

Тому кажуть, що є мірою неоднорідності скалярного поля u.

Нехай з кожною точкою M(x,y,z) області D пов’язаний деякий вектор

,

тобто, задана вектор-функція а(М).

Дивергенцією вектора а називається наступна скалярна функція: , або .

Оператор називається оператором Лапласа і визначається .

Інколи при вивченні певних фізичних задач незручно користуватись декартовою системою координат, а значно простіше розв’язати задачу в іншій системі координат.

Нехай в системі координат ( ) з одиничними ортами відомо формули, які дають перехід в декартову систему координат , , .

Величини , (6.1) називаються коефіцієнтами Ламе для даної системи координат.

Тоді (див., наприклад [9])

, (6.2)

,(6.3)

. (6.4)

Наприклад, розглянемо циліндричну систему координат. Тут точка визначається координатами і , , . Тоді, згідно (6.1), отримуємо

Отже, згідно (6.2)-(6.4), маємо

,

,

або .