- •П.М.Мартинюк Рівняння математичної фізики
- •Від автора
- •Тема 1. Класифікація диференціальних рівнянь з частинними похідними другого порядку з двома незалежними змінними
- •§1.1. Диференціальні рівняння з частинними похідними з двома незалежними змінними
- •§1.2. Класифікація диференціальних рівнянь з частинними похідними
- •§1.3. Канонічний вигляд диференціальних рівнянь з частинними похідними другого порядку
- •§1.4. Канонічні форми лінійних диференціальних рівнянь з частинними похідними зі сталими коефіцієнтами
- •Практична робота №1 Класифікація диференціальних рівнянь з частинними похідними другого порядку
- •Завдання для самостійної роботи
- •I рівень
- •II рівень
- •Практична робота №2 Зведення до канонічного вигляду диференціальних рівнянь з частинними похідними зі сталими коефіцієнтами
- •Завдання для самостійної роботи
- •I рівень
- •II рівень
- •Розділ 2 Рівняння гіперболічного типу
- •Тема 2. Хвильове рівняння та постановки крайових задач
- •§2.1. Рівняння коливань струни
- •§2.2. Граничні та початкові умови. Їх фізична інтерпретація
- •§2.3. Класифікація крайових задач
- •§2.4. Поняття про коректність постановки крайової задачі
- •§2.5. Некоректні задачі математичної фізики
- •§2.6. Редукція загальної задачі
- •Тема 3. Задача Коші для хвильового рівняння
- •§3.1. Метод характеристик. Формула д’Аламбера
- •§3.2. Формули Пуассона та Кірхгофа
- •§3.3. Коректність постановки задачі Коші
- •§3.4. Узагальнений розв’язок задачі Коші
- •Практична робота №3 Задача Коші для рівнянь гіперболічного типу. Метод характеристик
- •Завдання для самостійної роботи
- •I рівень
- •II рівень
- •III рівень
- •Тема 4. Метод розділення змінних (метод Фур’є) для гіперболічних рівнянь
- •§ 4.1. Перша мішана крайова задача для однорідного хвильового рівняння (вільні коливання струни)
- •§ 4.2. Перша мішана крайова задача для неоднорідного хвильового рівняння (вимушені коливання струни)
- •§ 4.3. Перша мішана крайова задача для неоднорідного хвильового рівняння з неоднорідними граничними умовами
- •§ 4.4. Перша мішана крайова задача для однорідного хвильового рівняння в прямокутнику (вільні коливання прямокутної мембрани)
- •Практична робота №4 Метод розділення змінних (метод Фур’є) для рівнянь гіперболічного типу
- •Завдання для самостійної роботи
- •I рівень
- •II рівень
- •Тема 5. Спеціальні функції математичної фізики
- •§ 5.1. Загальна задача Штурма-Ліувілля
- •§ 5.2. Спеціальні функції математичної фізики
- •Тема 6. Позначення та криволінійні координати в математичній фізиці
- •§ 6.1. Диференціальні операції в криволінійних координатах
- •§ 6.2. Метод розділення змінних (метод Фур’є) для першої мішаної крайової задачі для однорідного хвильового рівняння в крузі
- •Розділ 3 Рівняння параболічного типу
- •Тема 7. Рівняння параболічного типу та фізичні задачі, що до них приводять
- •§ 7.1. Фізичні процеси, які приводять до рівнянь параболічного типу
- •§ 7.2. Принцип максимуму
- •§ 7.3. Граничні та початкові умови. Їх фізична інтерпретація
- •Тема 8. Метод розділення змінних для параболічних рівнянь
- •§ 8.1. Перша мішана крайова задача для одновимірного параболічного рівняння
- •§ 8.2. Перша мішана крайова задача для параболічного рівняння в прямокутнику Знайдемо розв’язок крайової задачі
- •§ 8.3. Перша мішана крайова задача для параболічного рівняння в крузі
- •Практична робота №5 Метод відокремлення змінних для рівнянь параболічного типу
- •Завдання для самостійної роботи
- •I рівень
- •II рівень
- •Тема 9. Задача Коші для рівнянь параболічного типу
- •§9.1. Постановка задачі Коші для параболічних рівнянь
- •§9.2. Метод розділення змінних (метод Фур’є) для задачі Коші в одновимірному випадку
- •§9.3. Задача Коші в n-вимірному просторі
- •Практична робота №6 Задача Коші для рівнянь параболічного типу
- •Завдання для самостійної роботи
- •I рівень
- •II рівень
- •Тема 10. Єдиність та стійкість розв’язків крайових задач для рівнянь параболічного типу
- •§10.1. Єдиність та стійкість розв’язків мішаних крайових задач
- •§ 10.2. Єдиність розв’язку задачі Коші
- •§10.3. Неперервна залежність розв’язку задачі Коші від початкових умов та інтенсивності внутрішніх джерел тепла
- •Розділ 4 Рівняння еліптичного типу
- •Тема 11. Еліптичні рівняння та фізичні процеси, які до них приводять
- •§ 11.1. Фізичні процеси, що приводять до рівнянь еліптичного типу
- •§11.2. Постановка крайових задач для еліптичних рівнянь
- •§11.3. Фундаментальний розв’язок рівняння Лапласа
- •Тема 12. Принцип максимуму та коректність крайових задач для рівнянь еліптичного типу
- •§12.1. Принцип максимуму та його наслідки
- •§12.2. Єдиність та неперервна залежність від граничних умов розв’язку задачі Діріхле
- •§12.3. Формули Гріна
- •§12.4. Єдиність розв’язку задачі Неймана
- •§12.5. Єдиність розв’язку першої мішаної крайової задачі для гіперболічних рівнянь
- •Тема 13. Метод розділення змінних (метод Фур’є) для еліптичних рівнянь
- •§13.1. Задача Діріхле для рівняння Лапласа в прямокутнику
- •§13.2. Задача Діріхле для рівняння Лапласа в крузі
- •§ 13.3. Інтеграл Пуассона
- •Практична робота №7 Крайові задачі для рівнянь еліптичного типу
- •Завдання для самостійної роботи
- •I рівень
- •II рівень
- •Тема 14. Метод функції Гріна
- •§14.1. Основна інтегральна формула Гріна та основна формула теорії гармонічних функцій
- •§14.2. Функція Гріна для оператора Лапласа
- •§14.3. Приклади функцій Гріна для деяких областей
- •Тема 15. Елементи теорії потенціалу
- •§15.1. Потенціал об’єму, подвійного та простого шарів
- •§15.2. Властивості потенціалів
- •§15.3. Логарифмічні потенціали
- •Розділ 5 Елементи теорії інтегральних рівнянь
- •Тема 16. Класифікація інтегральних рівнянь
- •§16.1. Класифікація лінійних інтегральних рівнянь
- •§16.2. Інтегральні рівняння з виродженими ядрами
- •§16.3. Теореми Фредгольма
- •Тема 17. Наближені методи розв’язання інтегральних рівнянь
- •§17.1. Метод послідовних наближень
- •§17.2. Наближені методи розв’язання інтегральних рівнянь Фредгольма другого роду
- •§17.3. Інтегральні рівняння Фредгольма першого роду
- •§ 17.4. Деякі методи розв’язання некоректних задач
- •Тема 18. Зведення крайових задач для рівнянь еліптичного типу до розв’язування інтегральних рівнянь
- •§18.1. Задача Діріхле для рівняння Лапласа
- •§18.2. Задача Неймана для рівняння Лапласа
- •§17.3. Задача Діріхле для рівняння Пуассона
- •Рівняння математичної фізики
- •33028, Рівне, вул. Соборна, 11.
Міністерство освіти і науки України
Національний університет водного господарства та природокористування
П.М.Мартинюк Рівняння математичної фізики
Навчальний посібник
Рівне – 2007
УДК 517.95 (075.8)
ББК 22.16я7
М 29
Рецензенти:
А.П.Власюк, доктор технічних наук, професор, завідувач кафедри прикладної математики, декан факультету прикладної математики та комп’ютерно-інтегрованих систем Національного університету водного господарства та природокористування.
Я.Г.Савула, доктор фізико-математичних наук, професор, завідувач кафедри прикладної математики, декан факультету прикладної математики та інформатики Львівського національного університету ім. І. Франка.
А.О.Сяський, доктор технічних наук, професор, завідувач кафедри математики та інформатики Рівненського державного гуманітарного університету.
Мартинюк П.М.
М29 Рівняння математичної фізики: Навч. посібник.–Рівне: НУВГП, 2007. – 178 с.
У навчальному посібнику викладено основи теорії диференціальних рівнянь з частинними похідними (ДРЧП) другого порядку. З методів відшукання аналітичних розв’язків крайових задач основна увага приділена методу розділення змінних (метод Фур’є). Викладено деякі питання якісної теорії ДРЧП та вступ до теорії інтегральних рівнянь. Навчальний посібник призначений для студентів вищих навчальних закладів.
УДК 517.95 (075.8)
ББК 22.16я7
© П.М.Мартинюк, 2007
© Національний університет
водного господарства та
природокористування, 2007
Зміст
Від автора....................................................................................................... |
7 |
||
Вступ............................................................................................................... |
8 |
||
|
|
||
Розділ 1. |
Класифікація диференціальних рівнянь з частинними похідними другого порядку з двома незалежними змінними.................................................................................... |
11 |
|
Тема 1. |
Класифікація диференціальних рівнянь з частинними похідними другого порядку з двома незалежними змінними.................................................................................... |
11 |
|
§1.1 |
Диференціальні рівняння з частинними похідними другого порядку з двома незалежними змінними................................. |
11 |
|
§1.2 |
Класифікація диференціальних рівнянь з частинними похідними.................................................................................... |
12 |
|
§1.3 |
Канонічний вигляд диференціальних рівнянь з частинними похідними другого порядку...................................................... |
18 |
|
§1.4 |
Канонічні форми лінійних диференціальних рівнянь з частинними похідними зі сталими коефіцієнтами................. |
21 |
|
|
|
|
|
Практична робота №1. Класифікація диференціальних рівнянь з частинними похідними другого порядку................................ |
23 |
||
|
Завдання для самостійної роботи............................................. |
25 |
|
|
|
|
|
Практична робота №2. Зведення до канонічного вигляду диференціальних рівнянь з частинними похідними зі сталими коефіцієнтами….....………………….............…...… |
27 |
||
|
Завдання для самостійної роботи............................................. |
29 |
|
|
|
|
|
Розділ 2. |
Рівняння гіперболічного типу............................................... |
30 |
|
Тема 2. |
Хвильове рівняння та постановки крайових задач.......... |
30 |
|
§2.1 |
Рівняння коливань струни......................................................... |
30 |
|
§2.2 |
Граничні та початкові умови. Їх фізична інтерпретація........ |
33 |
|
§2.3 |
Класифікація крайових задач.................................................... |
35 |
|
§2.4 |
Поняття про коректність постановки крайової задачі............ |
36 |
|
§2.5 |
Некоректні задачі математичної фізики.................................. |
36 |
|
§2.6 |
Редукція загальної задачі........................................................... |
38 |
|
Тема 3. |
Задача Коші для хвильового рівняння................................ |
39 |
|
§3.1 |
Метод характеристик. Формула Д’Аламбера.......................... |
39 |
|
§3.2 |
Формули Пуассона та Кірхгофа............................................... |
43 |
|
§3.3 |
Коректність постановки задачі Коші....................................... |
45 |
|
§3.4 |
Узагальнений розв’язок задачі Коші........................................ |
48 |
|
|
|
|
|
Практична робота №3. Задача Коші для рівнянь гіперболічного типу. Метод характеристик................................................................ |
51 |
||
|
Завдання для самостійної роботи............................................. |
53 |
|
|
|
|
|
Тема 4. |
Метод розділення змінних (метод Фур’є) для гіперболічних рівнянь............................................................. |
55 |
|
§4.1 |
Перша мішана крайова задача для однорідного хвильового рівняння (вільні коливання струни)......................................... |
55 |
|
§4.2 |
Перша мішана крайова задача для неоднорідного хвильового рівняння (вимушені коливання струни).............. |
59 |
|
§4.3 |
Перша мішана крайова задача для неоднорідного хвильового рівняння з неоднорідними граничними умовами....................................................................................... |
63 |
|
§4.4 |
Перша мішана крайова задача для однорідного хвильового рівняння в прямокутнику (вільні коливання прямокутної мембрани)................................................................................... |
63 |
|
|
|
|
|
Практична робота №4. Метод розділення змінних (метод Фур’є) для рівнянь гіперболічного типу…………..................................... |
67 |
||
|
Завдання для самостійної роботи............................................. |
71 |
|
|
|
|
|
Тема 5. |
Спеціальні функції математичної фізики........................... |
73 |
|
§5.1 |
Загальна задача Штурма-Ліувілля............................................ |
73 |
|
§5.2 |
Спеціальні функції математичної фізики................................ |
76 |
|
Тема 6. |
Позначення та криволінійні координати в математичній фізиці................................................................ |
79 |
|
§6.1 |
Диференціальні операції в криволінійних координатах........ |
79 |
|
§6.2 |
Метод розділення змінних (метод Фур’є) для першої мішаної крайової задачі для однорідного хвильового рівняння в крузі.......................................................................... |
81 |
|
Розділ 3. |
Рівняння параболічного типу................................................ |
84 |
|
Тема 7. |
Рівняння параболічного типу та фізичні задачі, що до них приводять........................................................................... |
84 |
|
§7.1 |
Фізичні процеси, які приводять до рівнянь параболічного типу.............................................................................................. |
84 |
|
§7.2 |
Принцип максимуму.................................................................. |
88 |
|
§7.3 |
Граничні та початкові умови. Їх фізична інтерпретація......... |
91 |
|
Тема 8. |
Метод розділення змінних для параболічних рівнянь...... |
92 |
|
§8.1 |
Перша мішана крайова задача для одновимірного параболічного рівняння............................................................. |
94 |
|
§8.2 |
Перша мішана крайова задача для параболічного рівняння в прямокутнику........................................................................... |
97 |
|
|
|
|
|
§8.3 |
Перша мішана крайова задача для параболічного рівняння в крузі.......................................................................................... |
99 |
|
|
|
|
|
Практична робота №5. Метод розділення змінних для рівнянь параболічного типу………………….............……………...... |
101 |
||
|
Завдання для самостійної роботи............................................. |
105 |
|
|
|
|
|
Тема 9. |
Задача Коші для рівнянь параболічного типу….. |
106 |
|
§9.1 |
Постановка задачі Коші для параболічних рівнянь................ |
106 |
|
§9.2 |
Метод розділення змінних (метод Фур’є) для задачі Коші в одновимірному випадку............................................................ |
106 |
|
§9.3 |
Задача Коші в n–вимірному просторі....................................... |
109 |
|
|
|
|
|
Практична робота №6. Задача Коші для рівнянь параболічного типу... |
111 |
||
|
Завдання для самостійної роботи............................................. |
116 |
|
|
|
|
|
Тема 10. |
Єдиність та стійкість розв’язків крайових задач для рівнянь параболічного типу................................................... |
117 |
|
§10.1 |
Єдиність та стійкість розв’язків мішаних крайових задач………………………………………………….............… |
117 |
|
§10.2 |
Єдиність розв’язку задачі Коші................................................ |
120 |
|
§10.3 |
Неперервна залежність розв’язку задачі Коші від початкових умов та інтенсивності внутрішніх джерел тепла |
121 |
|
Розділ 4. |
Рівняння еліптичного типу.................................................... |
123 |
|
Тема 11. |
Еліптичні рівняння та фізичні процеси, які до них приводять................................................................................... |
123 |
|
§11.1 |
Фізичні процеси, що приводять до рівнянь еліптичного типу.............................................................................................. |
123 |
|
§11.2 |
Постановки крайових задач для еліптичних рівнянь.............. |
124 |
|
§11.3 |
Фундаментальний розв’язок рівняння Лапласа…….............. |
125 |
|
Тема 12. |
Принцип максимуму та коректність крайових задач для рівнянь еліптичного типу……………………………... |
126 |
|
§12.1 |
Принцип максимуму та його наслідки..................................... |
126 |
|
§12.2 |
Єдиність та неперервна залежність від граничних умов розв’язку задачі Діріхле............................................................. |
128 |
|
§12.3 |
Формули Гріна............................................................................ |
129 |
|
§12.4 |
Єдиність розв’язку задачі Неймана.......................................... |
131 |
|
§12.5 |
Єдиність розв’язку першої мішаної крайової задачі для гіперболічних рівнянь................................................................ |
132 |
|
Тема 13. |
Метод розділення змінних (метод Фур’є) для еліптичних рівнянь………….................................................. |
134 |
|
§13.1 |
Задача Діріхле для рівняння Лапласа в прямокутнику........... |
134 |
|
§13.2 |
Задача Діріхле для рівняння Лапласа в крузі.......................... |
138 |
|
§13.3 |
Інтеграл Пуассона...................................................................... |
140 |
|
|
|
|
|
Практична робота №7. Крайові задачі для рівнянь еліптичного типу.... |
141 |
||
|
Завдання для самостійної роботи............................................. |
144 |
|
|
|
|
|
Тема 14. |
Метод функції Гріна................................................................ |
145 |
|
§14.1 |
Основна інтегральна формула Гріна та основна формула теорії гармонічних функцій……………..............................…. |
145 |
|
§14.2 |
Функція Гріна для оператора Лапласа..................................... |
149 |
|
§14.3 |
Приклади функцій Гріна для деяких областей……................ |
151 |
|
Тема 15. |
Елементи теорії потенціалу.................................................... |
153 |
|
§15.1 |
Потенціал об’єму, простого та подвійного шарів................... |
153 |
|
§15.2 |
Властивості потенціалів............................................................ |
154 |
|
§15.3 |
Логарифмічні потенціали.......................................................... |
156 |
|
Розділ 5. |
Елементи теорії інтегральних рівнянь................................ |
158 |
|
Тема 16. |
Класифікація інтегральних рівнянь.................................... |
158 |
|
§16.1 |
Класифікація лінійних інтегральних рівнянь.......................... |
158 |
|
§16.2 |
Інтегральні рівняння з виродженими ядрами…….................. |
159 |
|
§16.3 |
Теореми Фредгольма.................................................................. |
160 |
|
Тема 17. |
Наближені методи розв’язання інтегральних рівнянь..... |
162 |
|
§17.1 |
Метод послідовних наближень................................................. |
162 |
|
§17.2 |
Наближені методи розв’язання інтегральних рівнянь Фредгольма другого роду.......................................................... |
166 |
|
§17.3 |
Інтегральні рівняння Фредгольма першого роду.................... |
167 |
|
§17.4 |
Деякі методи розв’язання некоректних задач……................. |
168 |
|
Тема 18. |
Зведення крайових задач для рівнянь еліптичного типу до розв’язування інтегральних рівнянь………………….. |
173 |
|
§18.1 |
Задача Діріхле для рівняння Лапласа....................................... |
173 |
|
§18.2 |
Задача Неймана для рівняння Лапласа..................................... |
174 |
|
§18.3 |
Задача Діріхле для рівняння Пуассона..................................... |
175 |
|
|
|
|
|
Література ...................................................................................................... |
176 |
||