§ 17. Сравнение двух средних нормальных генеральных совокупностей с неизвестными дисперсиями (зависимые выборки)

В предыдущих параграфах выборки предпола­гались независимыми. Здесь рассматриваются выборки одинакового объема, варианты которых попарно зави­симы. Например, если x_t ({=1,2, ...,п) — результаты измерений деталей первым прибором, a y_t—результаты измерений этих же деталей, произведенные в том же по­рядке вторым прибором, то x_t и у_{ попарно зависимы и в этом смысле сами выборки зависимые. Поскольку, ^ка1^ правило, Х{Фу1, то возникает необходимость установить, значимо или незначимо различаются пары этих чисел-Аналогичная задача ставится при сравнении двух мет°' дов исследования, осуществленных одной лаборатор¹¹'

314

_еЙ, или если исследование произведено одним и тем же методом двумя различными лабораториями.

Итак, пусть генеральные совокупности X и Y рас­пределены нормально, причем их дисперсии неизвестны. Требуется при уровне значимости а проверить нулевую гипотезу Н₀:М (Х) = М (У) о равенстве генеральных сред­них нормальных совокупностей с неизвестными диспер­сиями при конкурирующей гипотезе Н\:М (X) фМ (Y) по двум зависимым выборкам одинакового объема.

Сведем эту задачу сравнения двух средних к задаче сравнения одной выборочной средней с гипотетическим значением генеральной средней, решенной в § 13, п. Б. С этой целью введем в рассмотренные случайные вели­чины— разности D_{ = Xi—К,- и их среднюю

77 - S Р/ _ S (Xt-Yt) ₌ 2 X_t 2У{_ -X — Y.

п

Если нулевая гипотеза справедлива, т.е. М(X) = М(Y), то М (X)—M(Y) = 0 и, следовательно,

Таким образом, нулевую гипотезу Н_о:М (X) =» М (F) можно записать так:

Тогда конкурирующая гипотеза примет вид

Замечание 1. Далее наблюдаемые неслучайные разности */—Hi будем обозначать через d/ в отличие от случайных разностей Di=zXi — Yj. Аналогично выборочную среднюю этих разностей 2^//^л обозначим через d в отличие от случайной величины D.

Итак, задача сравнения двух средних х и у сведена к задаче сравнения одной выборочной средней d с гипотетическим значением генеральной средней М (D) = ao = O. Эта задача решена ранее в§ J3, 1- Б, поэтому приведем лишь правило проверки нулевой гипотезы и иллюстрирующий пример.

Замечание 2. Как следует из изложенного выше, в фор­муле (см. § 13, п. Б)

315

надо положить

х = а, а_о = и, s = s^=

Тогда _{na6ll d}

Правило. Для того чтобы при заданном уровне чимости а проверить нулевую гипотезу Н₀:М (X) ^ = М (Y) о равенстве двух средних нормальных совоку_п. ностей с неизвестными дисперсиями (в случае зависимых выборок одинакового объема) при конкурирующей гипо-тезе М(Х)фМ(У), надо вычислить наблюдаемое зна-чение критерия:

и по таблице критических точек распределения Стьюдента по заданному уровню значимости а, помещенному в верх­ней строке таблицы, и по числу степеней свободы k = п — I найти критическую точку *_двуст. _кр (a; k).

Если |Г_набл| < г"_цвуст. _кр—нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу.

Если | Г_набл | > /*_двуст. _кр — нулевую гипотезу отвергают.

Пример. Двумя приборами в одчом и том же порядке измерены 5 деталей и получены следующие результаты (в сотых долях мил­лиметра):

Xi = 6, х₂ = 7, х₃ = 8, x_t = 5, х_ъ = 7; «/1 = 7, #2 = 6, У₃ = 8, У₄=7, Уь~8.

При уровне значимости 0,05 установить, значимо или незначимо раз­личаются результаты измерений.

Решение. Вычитая из чисел первой строки числа второй, получим: di = — 1, d₂=l, d₃ = 0, d_t = —2, d₆ ⁼—'•

Найдем выборочную среднюю:

— 2-\ 1)/5 = —0,6.

Учитывая, что 2 df= 1 + 1+4+ 1=7 и 2^d« = — ³>

1+1=7 и 2 «исправленное» среднее квадратическое отклонение:

В ычислим наблюдаемое значение критерия:

По таблице критических точек распределения Стьюдента, по уровн)⁰ значимости ? 0,05, помещенному в верхней строке таблицы, " числу степеней свободы ft = 5—1=4 находим критическую точку /двуст. кр(0,05; 4) = 2,78.

316

Так как | Г„_аб_л I < 'двуст. кр —^нет оснований отвергнуть нулевую _отезу. Другими словами, результаты измерений различаются мо