§ 14. Связь между двусторонней критической областью и доверительным интервалом

Легко показать, что, отыскивая двустороннюю критическую область при уровне значимости а, тем самым находят и соответствующий доверительный интервал с надежностью у = 1—^а- Например, в § 13, проверяя ну­левую гипотезу H₀:a = a_Q при Н₁:афа₀, мы требовали, чтобы вероятность попадания критерия V — (х—aJV^n/o в двустороннюю критическую область была равна уровню значимости а, следовательно, вероятность попадания кри­терия в область принятия гипотезы (— ы_кр, «_кр) равна 1—a = y. Другими словами, с надежностью y выпол­няется неравенство

— «кр < (x~a)Vnjo < u_KV,

или равносильное неравенство

— а . — . а

*-» <а<х+и_кру=,

где Ф(ы_кр) 7/2.

Мы получили доверительный интервал для оценки математического ожидания а нормального распределения при известном а с надежностью у (см. гл. XVI, § 15).

ур р

ласти и доверительного интервала приводит к одинаковым резуль татам, их истолкование различно: двусторонняя критическая область определяет границы (к ) юче"^

Замечание. Хотя отыскание двусторонней критической °"' ти и доверительног р зуль'

, ае различно: двусторонняя критическая об

определяет границы (критические точки), между которыми заключе"^ (1—а)% числа наблюдаемых критериев, найденных при повторен¹"; опытов; доверительный же интервал определяет границы (концы ин­тервала), между которыми в ^ = (1— <х)% опытов заключено ист»¹¹¹' ное значение оцениваемого параметра.

312

§ 15. Определение минимального объема выборки при сравнении выборочной и гипотетической генеральной средних

На практике часто известна величина (точность) g у- О, которую не должна превышать абсолютная вели­чина разности между выборочной и гипотетической гене­ральной средними. Например, обычно требуют, чтобы средний размер изготовляемых деталей отличался от про­ектного не более чем на заданное б. Возникает вопрос: каким должен быть минимальный объем выборки, чтобы ₉то требование с вероятностью у=1—а (а — уровень значимости) выполнялось?

Поскольку задача отыскания доверительного интервала для оценки математического ожидания нормального рас­пределения при известном о и задача отыскания двусто­ронней критической области для проверки гипотезы о равенстве математического ожидания (генеральной сред­ней) гипотетическому значению (см. § 13, п. А) сводятся одна к другой (см. § 14), воспользуемся формулой (см. гл. XVI, § 15)

где и_кР находят по равенству Ф(«_кр) = у/2 = (1—а)/2.

Если же а неизвестно, а найдена его оценка s, то (см. § 13, п. Б)

§16. Пример на отыскание мощности критерия

Приведем решение примера на нахождение мощ­ности критерия.

Пример. По выборке объема п = 25, извлеченной из нормальной генеральной совокупности с известным средним _квадратическим от­клонением а=10, найдена выборочная средняя х=\8. При уровне значимости 0,05 требуется:

а) найти критическую область, если проверяется нулевая гипо- ^Теза Н₀:а = а₀ —20 о равенстве генеральной средней гипотетическому ³Начению при конкурирующей гипотезе Н_х:а < 20;

б) найти мощность критерия проверки при а_о = 1б. Решение, а) Так как конкурирующая гипотеза имеет вид

^ в₀₎ критическая область — левосторонняя.

, Пользуясь правилом 3 (см. § 13, п. А), найдем критическую точку: % = —1,65. Следовательно, левосторонняя критическая область оп-

313

ределяется неравенством U <—1,65, или подробнее (Je—20)/25/Ю <—1,65.

Отсюда х< 16,7.

При этих значениях выборочной средней нулевая гипотеза от вергается; в этом смысле х=16,7 можно рассматривать как крити ческое значение выборочной средней.

б) Для того чтобы вычислить мощность рассматриваемого крц герия, предварительно найдем его значение при условии справедл_и" вости конкурирующей гипотезы (т. е. при о₀=16), положив х = \Qy.

U = (х— а₀) }Щ/о = ( 16,7 — 16) /25/10 = 0,35.

Отсюда видно, что если х < 16,7, то U < 0,35. Поскольку при х < 16,7 нулевая гипотеза отвергается, то и при U < 0,35 она также отвергается (при этом конкурирующая гипотеза справедлива, так как'мы положили а_о=16).

Найдем теперь, пользуясь функцией Лапласа, мощность крите- рия, т. е. вероятность того, что нулевая гипотеза будет отвергнута если справедлива конкурирующая гипотеза (см. § 7): '

P(U < 0,35) = Р(— оо < U < 0,35) = Р(—оо < U < 0) + + Р(0< U < 0,35) = 0,5+ Ф (0,35) = 0,5 +0,1368 = 0,6368.

Итак, искомая мощность рассматриваемого критерия прибли­женно равна 0,64. Если увеличить объем выборки, то мощность увеличится.

Например, при л = 64 мощность равна 0,71. Если увеличить а, то мощность также увеличится. Например, при а = 0,1 мощность равна 0,7642.

Замечание. Зная мощность, легко найти вероятность ошибки второго рода: р* = 1—0,64. (Разумеется, при решении примера можно было сначала найти р\ а затем мощность, равную 1 — р.)