§ 13. Сравнение выборочной средней с гипотетической генеральной средней нормальной совокупности

А. Дисперсия генеральной совокупности известна.

Пусть генеральная совокупность X распределена нор­мально, причем генеральная средняя а хотя и неизвестна, но имеются основания предполагать, что она равна ги­потетическому (предполагаемому) значению а₀. Например, если X—совокупность размеров х_{ партии деталей, изгото­вляемых станком-автоматом, то можно предположить, что генеральная средняя а этих размеров равна проектному размеру а₀. Чтобы проверить это предположение, находят выборочную среднюю х и устанавливают, значимо или незначимо различаются х и а₀. Если различие окажется незначимым, то станок обеспечивает в среднем проектный размер; если различие значимое, то станок требует поД' наладки.

Предположим, что дисперсия генеральной совоку¹¹' ности известна, например, из предшествующего опыта, или найдена теоретически, или вычислена по выбора большого объема (по большой выборке можно полу^чйТЬ достаточно хорошую оценку дисперсии).

308

Итак, пусть из нормальной генеральной совокупности _зВлечена выборка объема п и по ней найдена выбороч-_ая средняя х, причем генеральная дисперсия а² известна. Требуется по выборочной средней при заданном уровне дачимости проверить нулевую гипотезу Н₀:а=а₀ о ра­венстве генеральной средней а гипотетическому значе-

ю о

Учитывая, что выборочная средняя является несме­щенной оценкой генеральной средней (см. гл. XVI, § 5), _т е. М(Х)=а, нулевую гипотезу можно записать так:

Таким образом, требуется проверить, что математи­ческое ожидание выборочной средней равно гипотети­ческой генеральной средней. Другими словами, надо уста­новить, значимо или незначимо различаются выборочная и генеральная средние.

В качестве критерия проверки нулевой гипотезы при­мем случайную величину

U = (Х-а_о)/а (X) = (Х-а₀) Т/ТГ/а,

которая распределена нормально, причем при справедли­вости нулевой гипотезы M(U) = 0, o(U)=l.

Поскольку здесь критическая область строится в за­висимости от вида конкурирующей гипотезы, так же как в § 10, ограничимся формулировкой правил проверки нулевой гипотезы, обозначив значение критерия U, вы­численное по данным наблюдений, через £/_набл.

Правило 1. Для того чтобы при заданном уровне зна­чимости а проверить нулевую гипотезу Н₀:а=а₀ о ра­венстве генеральной средней а нормальной совокупности с известной дисперсией а² гипотетическому значению а₀ ^при конкурирующей гипотезе Н_х:афа_й, надо вычислить наблюдаемое значение критерия:

^и по таблице функции Лапласа найти критическую точку двусторонней критической области по равенству

Если \и_на6л\ < «_кр—нет оснований отвергнуть нуле-° ги

\₆

° гипотезу. Если |^набл|>«кр — нулевую гипотезу отвергают,

809

Правило 2. При конкурирующей гипотезе Н^.а^ц критическую точку правосторонней критической области находят по равенству

Если £/_набл < ы_кр — нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу. Если £/_набл > и_кр—нулевую гипотезу отвергают.

Правило 3. При конкурирующей гипотезе #_х:а<_а сначала находят критическую точку ы_кр по правилу 2° а затем полагают границу левосторонней критической области «кр ⁼ — "кр-

Если 1/„абл >—"кр—^нет оснований отвергнуть нуле­вую гипотезу.

Если U_кл6л < — ы_кр — нулевую гипотезу отвергают.

Пример 1. Из нормальной генеральной совокупности с известным средним квадратическим отклонением а = 0,36 извлечена выборка объема я = 36 и по ней найдена выборочная средняя л; = 21,6. Тре­буется при уровне значимости 0,05 проверить нулевую гипотезу Н₀:а = а₀ = 21, при конкурирующей гипотезе Н^.а Ф 21.

Решение. Найдем наблюдаемое значение критерия:

=(х — а₀) У~п/о = (21,6 — 21) УМ/0,36 = 10.

По условию, конкурирующая гипотеза имеет вид а Ф а₀, поэтому критическая область—двусторонняя. Найдем критическую точку:

Ф("к_Р) = (1— а)/2 = (1— 0,05)/2 = 0,475.

По таблице функции Лапласа находим и_кр = 1,96.

Так как t/_Hag_a > ы_кр — нулевую гипотезу отвергаем. Другими словами, выборочная и гипотетическая генеральная средние разли­чаются значимо.

Пример 2. По данным примера 1 проверить нулевую гипотезу Я₀:а = 21 при конкурирующей гипотезе а > 21.

Решение. Так как конкурирующая гипотеза имеет вид а > 21, критическая область —правосторонняя.

Найдем критическую точку из равенства

Ф(«к_Р) = (1-2а)/2 = (1-2-0,05)/2 = 0,45.

По таблице функции Лапласа находим и_кр=1,65.

Так как £/_набл⁼Ю > ^ыкр — нулевую гипотезу отвергаем; разли­чие между выборочной и гипотетической генеральной средней — значимое.

Заметим, что в примере 2 нулевую гипотезу можно было отверг­нуть сразу, поскольку она была отвергнута в примере 1 при двусто­ронней критической области; полное решение приведено в учебных целях.

Б. Дисперсия генеральной совокупности неизвестна.

Если дисперсия генеральной совокупности неизвестна (например, в случае малых выборок), то в качестве й

310

_епия проверки нулевой гипотезы принимают случайную величину

д_е S—«исправленное» среднее квадратическое отклоне­ние. Величина Т имеет распределение Стьюдента с k = n — 1 степенями свободы.

Критическая область строится в зависимости от вида конкурирующей гипотезы. Поскольку это делается так, ^_ак описано выше, ограничимся правилами проверки лулевой гипотезы.

Правило 1.Для того чтобы при заданном уровне зна­чимости а проверить нулевую гипотезу Н₀:а = а₀ о ра­венстве неизвестной генеральной средней а (нормальной совокупности с неизвестной дисперсией) гипотетическому значению а₀ при конкурирующей гипотезе Н^.афа^ надо вычислить наблюдаемое значение критерия:

и по таблице критических точек распределения Стьюдента, по заданному уровню значимости а, помещенному в верх­ней строке таблицы, и числу степеней свободы k = n—1 найти критическую точку /_двуст. _кр (a; k).

ЕСЛИ | 7"набл I < ^двуст. кр — ^нет ОСНОВЭНИЙ ОТВврГНуТЬ

нулевую гипотезу.

Если 17"_набл | > /_двуст. _кр—нулевую гипотезу отвергают.

Правило 2. При конкурирующей гипотезе Н_г\а~>а₉ по уровню значимости а, помещенному в нижней строке таблицы приложения 6, и числу степеней свободы k = n—1

Находят Критическую ТОЧКу Завоет, кр (^а> Ь) ПрЭВОСТО-

ронней критической области.

Если Т_на6л </_{правост}. _кр—нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу.

Правило 3. При конкурирующей гипотезе Я₁:а<а₀, сначала находят «вспомогательную» критическую точку Правеет, кр (^а; £) ^и полагают границу левосторонней кри­тической Области Невест. кр = —^правост. кр-

Если Г_набл> — ^правост. кр—нет -оснований отвергнуть ^нУлевую гипотезу.

Если Г_набл<—/_{правост}. _кр—нулевую гипотезу отвер-

Пример 3. По выборке объема п = 20, извлеченной из нормаль-и генеральной совокупности, найдены выборочная средняя #=16 ^справленное» среднее квадратическое отклонение s = 4,5. Tpe-

311

буется при уровне значимости 0,05 проверить нулевую гипотезу Я₀:а = а₀= 15, при конкурирующей гипотезе Я_х:а Ф 15. Решение. Вычислим наблюдаемое значение критерия:

7-_вабя=(Г—в₀) У~й/8 = (16-15)-/20/4.5 = 0,99.

По условию, конкурирующая гипотеза имеет вид а Ф а₀, поэтому критическая область — двусторонняя.

По таблице критических точек распределения Стыодента, _По уровню значимости а = 0,05, помещенному в верхней строке таблицы и по числу степеней свободы fe = 20—1 = 19 находим критическую точку г_Д8уст.кр (0,05; 19) = 2,09.

Так как | Г_наб_л I < ^двуст. кр —^нет оснований, чтобы отвергнуть нулевую гипотезу; выборочная средняя незначимо отличается от ги­потетической генеральной средней.