§ 12. Сравнение двух средних нормальных генеральных совокупностей, дисперсии которых неизвестны и одинаковы (малые независимые выборки)

Пусть генеральные совокупности X и Y распре­делены нормально, причем их дисперсии неизвестны. Напр^имеР> ^п0 выборкам малого объема нельзя получить Хорошие оценки генеральных дисперсий. По этой при-^не метод сравнения средних, изложенный в § 11, при-

^

менить нельзя.

Однако если дополнительно предположить, что неиз-_{Б е} с т н ы е генеральные дисперсии равны меЖДУ собой, то можно построить критерий (Стью-дента) сравнения средних. Например, если сравниваются средние размеры двух партий деталей, изготовленных на одном и том же станке, то естественно допустить, что дисперсии контролируемых размеров одинаковы.

Если же нет оснований считать дисперсии одинако­выми, то, прежде чем сравнивать средние, сле­дует, пользуясь критерием Фишера—Снедекора (см. §8), предварительно проверить гипотезу о равенстве гене­ральных дисперсий.

Итак, в предположении, что генеральные дисперсии одинаковы, требуется проверить нулевую гипотезу Я_о: М(Х) — М (Y). Другими словами, требуется установить, значимо или незначимо различаются выборочные средние х и у, найденные по независимым малым выборкам объе­мов лит.

В качестве критерия проверки нулевой гипотезы при­мем случайную величину

X — Y ^/~пт(п + т —2)

Доказано, что величина Т при справедливости нулевой ^гипотезы имеет /-распределение Стьюдента с k = n4-m — 2 ^степенями свободы.

Критическая область строится в зависимости от вида °нкурирующей гипотезы.

Первый случай. Нулевая гипотеза Н_о: М (X) —

^М(К). Конкурирующая гипотеза Н_г: М (Х)ФМ (Y).

₀_ ° этом случае строят двустороннюю критическую

^ласть, исходя из требования, чтобы вероятность попа-

305

дания критерия Т в эту область в предположении спр_а> ведливости нулевой гипотезы была равна принятому уровню значимости а.

Наибольшая мощность критерия (вероятность попа, дания критерия ' в критическую область при справедлив вости конкурирующей гипотезы) достигается тогда, когд_а «левая» и «правая» критические точки выбраны так, ч_То вероятность попадания критерия в каждый из двух интер. валов двусторонней критической области равна а/2:

Р (Т < *лев. к_Р) = а/2, Р (Т > /_прав. _кр) = а/2.

Поскольку величина Т имеет распределение Стью-дента, а оно симметрично относительно нуля, то и крити­ческие точки симметричны относительно нуля. Таким образом, если обозначить правую границу двусторонней критической области через *_двуст. _кр (a; k), то левая гра­ница равна —^двуст. кр (^а-. &)• Итак, достаточно найти правую границу двусторонней критической области, чтобы найти саму двустороннюю критическую область: Т < < —^двуст. кр («.' к), Т > /_двуст. _кр (a; k) и область принятия нулевой гипотезы: [—*_двуст. _кр(а; k), г_двуст. _кр(а; к)].

Обозначим значение критерия, вычисленное по дан­ным наблюдений, через Т„_абл и сформулируем правило проверки нулевой гипотезы.

Правило 1. Для того чтобы при заданном уровне зна­чимости а проверить нулевую гипотезу Н_о: М (X) = М (Y) о равенстве математических ожиданий двух нормальных совокупностей с неизвестными, но одинаковыми диспер­сиями (в случае независимых малых выборок) при кон­курирующей гипотезе Н_х\ М (Х)ФМ (Y), надо вычис­лить наблюдаемое значение критерия:

, х—у -./~nm(n-\-m—2)

^набл~ }/(l)^ (-l)s* ^У

и по таблице критических точек распределения Стьюдента, по заданному уровню значимости а (помещенному в верх­ней строке таблицы) и числу степеней свободы k=n-\-m—^ найти критическую точку ^_двуст. _кр(а; k).

Если | Г_набл| < г_двуст. _кр(а; k) — отвергнуть нулевую ги­потезу нет оснований.

Если | Т_т6л | > *_двуст. _кр (a; k)—нулевую гипотезу о¹" вергают.

306 .

Пример. По двум независимым малым выборкам, объемы которых тветсТвенно равны п = 5 и /п = 6, извлеченным из нормальных ге-^С°_оальных совокупностей X и Y, найдены выборочные средние х — 3,3, !!^, 2,48 и исправленные дисперсии s^= 0,25 и Sy = 0,108. При уровне ^'ачимости 0,05 проверить нулевую гипотезу Н₀:М (Х)~М (Y), при «^н„курирующей гипотезе Н_г\М (X) Ф М (Y).

¹⁵ решение. Так как выборочные дисперсии различны, проверим дварительно нулевую гипотезу о равенстве генеральных дисперсий, ользуясь критерием Фишера — Снедекора (см. § 8).

Найдем отношение большей исправленной дисперсии к меньшей:

Дисперсия s^ значительно больше дисперсии s_Y, поэтому в ка­честве конкурирующей примем гипотезу Hi'.D(X) > D (У). В этом _лучае критическая область — правосторонняя. По таблице, по уровню значимости а = 0,05 и числам степеней свободы k_x = 5 —<• 1 «= 4, к_г =» _]== б-— 1 =5 находим критическую точку F_KV (0,05; 4; 5) = 5,19.

Так как F_Haa₃ < F_KP — нет оснований отвергнуть нулевую гипо-_ге3у о равенстве генеральных дисперсий.

Поскольку предположение о равенстве генеральных дисперсий выполняется, сравним средние.

Вычислим наблюдаемое значение критерия Стьюдента:

nm (п + т — 2)

г_набл = _*=£_==г l/.

Подставив числовые значения величин, входящих в эту формулу, по­лучим Т„_абл = ³.27.

По условию, конкурирующая гипотеза имеет вид М (X) Ф М (К), поэтому критическая область—двусторонняя. По уровню значимости 0,05 и числу степеней свободы /г = 5 + 6 —2 = 9 находим по таблице (см. приложение 6) критическую точку <_двуст. _Кр (0,05; 9) = 2,26.

Так как Т„_а^_л > /_двуст. _кр — нулевую гипотезу 6 равенстве гене­ральных средних отвергаем. Другими словами, выборочные средние различаются значимо.

Второй случай. Нулевая гипотеза Н₀:М (X) = = M(Y). Конкурирующая гипотеза Н₁:М (X) > М (У).

В этом случае строят правостороннюю критическую область, исходя из требования, чтобы вероятность попада-^ иия критерия Т в эту область в предположении спра-^ведливости нулевой гипотезы была равна принятому Уровню значимости:

' \* ^ 'правост. кр/ ~ ОС*

+_m2.

Если Г_на6л < /_{правост}. _кр—нет оснований отвергнуть ну-^евУю гипотезу.

307

Критическую точку ?_{правост}. _кр (^а; k) находят по таблице, ^Риложения 6, по уровню значимости а, помещенному , нижней строке таблицы, и по числу степеней свободы « = +2

Если Т_на6л>^_{правост}._кр—нулевую гипотезу отвергают Третий случай. Нулевая гипотеза Н₀:М (X) ^ *™M(Y). Конкурирующая гипотеза Н_Х:М (X) < М (у\ В этом случае строят левостороннюю критическую область, исходя из требования, чтобы вероятность по­падания критерия в эту область в предположении спрд. ведливости нулевой гипотезы была равна принятому уров­ню значимости:

Р {Т < ^_левост. _кр) = а.

В силу симметрии распределения Стьюдента относи­тельно НУЛЯ ^левост. кр = —^правост. кр- ПОЭТОМУ СНЭЧала На-

ходят «вспомогательную» критическую точку ^_П

так, как описано во втором случае, и полагают

'левост. кр ^==! ^правост. кр-

Если Т_набл>—/_{поавост}._кр—отвергнуть нулевую гипо­тезу нет оснований.

Если 7\,_абд< —г_{правост}. _кр—нулевую гипотезу отвер­гают.