"Набл — ,...-. .....» . — 1 fV/o#

По условию, конкурирующая гипотеза имеет вид M(X)>M(Y), поэтому критическая область — правосторонняя.

По таблице функции Лапласа находим z_Kp=l,64.

Так как 2_набл < ²кр — нет оснований отвергнуть нулевую гипо­тезу. Другими словами, выборочные средние различаются незначимо.

Третий случай. Нулевая гипотеза Я_о: М (X) = в= М (Y). Конкурирующая гипотеза Н_к. М (X) < М (Y),

В этом случае строят левостороннюю критическую область, исходя из требования, чтобы вероятность попа-

Р ис. 27

дания критерия в эту область в предположении справед­ливости нулевой гипотезы была равна принятому уровню значимости (рис. 27):

P(Z<z'_KP) = cc.

Приняв во внимание, что критерий Z распределен симметрично относительно нуля, заключаем, что искомая критическая точка г'_кр симметрична такой точке [z_KP > 0. для которой P(Z>z_KP) — а, т. е. г'_кр = — г_кр/ Таким

302

образом, для того чтобы найти точку z'_Kp, достаточно _сцачала найти «вспомогательную точку» z_KP так, как _описано во втором случае, а затем взять найденное значение со знаком минус. Тогда левосторонняя крити­ческая область определяется неравенством Z <—z_KP, _а область принятия нулевой гипотезы — неравенством

г>—z_KP-

Правило 3. При конкурирующей гипотезе Н_г: М (X) < < М (У) надо вычислить Z_Ha6jl и сначала по таблице функции Лапласа найти «вспомогательную точку» г_кр по равенству Ф (z_KP = (1—2а)/2, а затем положить г^_р*^—>z_KP.

Если Z_Ha6jI > — z_Kp—нет оснований отвергнуть нуле­вую гипотезу.

Если Z_Ha6a<—z_Kp—нулевую гипотезу отвергают.

Пример 3. По двум независимым выборкам, объемы 'которых соответственно равны л = 50 и т = 50, извлеченным из нормальных генеральных совокупностей, найдены выборочные средние х= 142 и у=150. Генеральные дисперсии известны: D(X) = 28,2, D (К) =22,8. При уровне значимости 0,01 проверить нулевую гипотезу Н_о: М(Х) = = М (Y), при конкурирующей гипотезе Н%: M(X)<M(Y).

Решение. Подставив данные задачи в формулу для вычисле­ния наблюдаемого значения критерия, получим 2_наб_л = —8.

По условию, конкурирующая гипотеза имеет вид М (X) < М (Y), поэтому критическая область — левосторонняя.

Найдем «вспомогательную точку» г_кр:

Ф(2_Кр) = (1— 2а)/2 = ( 1—2.0,01 )/2 = 0,49.

По таблице функции Лапласа находим г_кр=2,33. Следова­тельно, гкр = —г_кр = —2,33.

Так как Z_aa(,_a <—г_кр — нулевую гипотезу отвергаем. Другими словами, выборочная средняя х значимо меньше выборочной сред­ней у.

§ 11< Сравнение двух средних произвольно распределенных генеральных совокупностей (большие независимые выборки)

В предыдущем параграфе предполагалось, что ^генеральные совокупности X и Y распределены нор­мально, а их дисперсии известны. При этих предполо­жениях в случае справедливости нулевой гипотезы ⁰ равенстве средних и независимых выборках критерий Z Распределен точно нормально с параметрами 0 и 1.

. 303

Если хотя бы одно из приведенных требований _Не выполняется, метод сравнения средних, описанный в § 1q неприменим. '

Однако если независимые выборки имеют большой объем (не менее 30 каждая), то выборочные средние ра_с. пределены приближенно нормально, а выборочные дис персии являются достаточно хорошими оценками гене, ральных дисперсий и в этом смысле их можно считать известными приближенно. В итоге критерий

Z' =

распределен приближенно нормально с параметрами M(Z') = О (при условии справедливости нулевой гипо­тезы) и a(Z')=l (если выборки независимы).

Итак, если: 1) генеральные совокупности распреде­лены нормально, а дисперсии их неизвестны; 2) гене­ральные совокупности не распределены нормально и дис­персии их неизвестны, причем выборки имеют большой объем и независимы,— можно сравнивать средние так, как описано в § 10, заменив точный критерий Z прибли­женным критерием Z'. В этом случае наблюдаемое зна­чение приближенного критерия таково:

₇' _

^набл — '

i — У

Замечание. Поскольку рассматриваемый критерий — прибли* женный, к выводам, полученным по этому критерию, следует отно­ситься осторожно.

Пример. По двум независимым выборкам, объемы которых соот­ветственно равны я =100 и /я = 120, найдены выборочные средние * = 32,4, £==30,1 и выборочные дисперсии £>_В(Х)= 15,0, D_B(K) = 25,2. При уровне значимости 0,05 проверить нулевую гипотезу Н_о: MiX)^ = M(Y), при конкурирующей гипотезе Я_х: М (X) Ф М (Y).

Решение. Подставив данные задачи в формулу для вычисле­ ния наблюдаемого значения приближенного критерия, получим 2 383

бл = 3,83.

По условию, конкурирующая гипотеза имеет вид М(Х) > М{')> поэтому критическая область — правосторонняя. Найдем критическую точку по равенству

Ф (z_Kp) = (1 — 2а)/2 = (1 - 2 ■ 0,05)/2 = 0,45.

По таблице функции Лапласа находим г_кр=1,64. _й

Так как 2_наб_л > г_кр — нулевую гипотезу отвергаем. ДрУ^гИ словами, выборочные средние различаются значимо.

304 4