§ 10. Сравнение двух средних нормальных

генеральных совокупностей,

дисперсии которых известны (независимые

выборки)

Пусть генеральные совокупности X и Y распре­делены нормально, причем их дисперсии известны (на­пример, из предшествующего опыта или найдены теоре­тически). По независимым выборкам, объемы которых соответственно равны пят, извлеченным из этих сово­купностей, Найдены выборочные средние хну.

Требуется по выборочным средним при заданном уровне значимости а проверить нулевую гипотезу, со­стоящую в том, что генеральные средние (математические ожидания) рассматриваемых совокупностей равны между собой, т. е.

Учитывая, что выборочные средние являются несме­щенными оценками генеральных средних (см. гл. XV, § 5), т. е. М(Х) = М(Х) и М (Y) = M (Y), нулевую гипотезу можно записать так:

Н₀:М(Х) = М{7).

Таким образом, требуется проверить, что математиче­ские ожидания выборочных средних равны между собой. Такая задача ставится потому, что, как правило, выбо­рочные средние оказываются различными. Возникает ^в°прос: значимо или незначимо различаются выборочные средние?

Если окажется, что нулевая гипотеза справедлива,

• ^е- генеральные средние одинаковы, то различие выбо-Р°^чных средних незначимо и объясняется случайными

Ричинами и, в частности, случайным отбором объектов

Сборки.

°Ди Р^имеР» если физические величины А и В имеют чаковые истинные размеры, а средние арифметиче-

297

ские х и у результатов измерении этих величин _D личны, то это различие незначимое. ^раз*

Если нулевая гипотеза отвергнута, т. е. генеральщ, средние неодинаковы, то различие выборочных сред_н^ значимо и не может быть объяснено случайными при_ч нами, а объясняется тем, что сами генеральные сред_Н)7* (математические ожидания) различны. Например, _ес^^е среднее арифметическое х результатов измерений физиче ской величины А значимо отличается от среднего ари<ь* метического у результатов измерений физической вели чины В, то это означает, что истинные размеры (матема! тические ожидания) этих величин различны.

В качестве критерия проверки нулевой гипотезы при-мем случайную величину

_z X-Y X-Y

a (X-Y) YD (X)/n + D (Y)/m

Эта величина случайная, потому что в различных опы­тах хну принимают различные, наперед неизвестные значения.

Пояснение. По определению среднего квадратиче-

с кого отклонения, о(Х—Y) — V D (X — У).

На основании свойства 4 (см. гл. VIII, § 5), D(X — Y) = D(X) + D(Y). _

По формуле (*) (см. гл. VIII, § 9), D(X) = D(X)/n,

) () Следовательно,

Критерий Z—нормированная нормальная случайная величина. Действительно, величина Z распределена нор­мально, так как является линейной комбинацией нор­мально распределенных величин X и У; сами эти вели­чины распределены нормально как выборочные средние» найденные по выборкам, извлеченным из нормальны^ генеральных совокупностей; Z—нормированная величин потому, что М (Z) = 0; при справедливости нулевой гип тезы a(Z)~ 1, поскольку выборки независимы.

Критическая область строится в зависимости от конкурирующей гипотезы.

298

r-jepBbift случай. Нулевая гипотеза Н„: М (X) = L'Y)- Конкурирующая гипотеза Н_г: М (X) ФМ (У).

** a^v этом случае строят двустороннюю критическую асть, исходя из требования, чтобы вероятность попа-

об^л _я критерия в эту область в предположении справед-

Д^а" _оСти нулевой гипотезы была равна принятому уровню

^Гчимости а. .

Наибольшая мощность критерия (вероятность попа-_йЯ критерия в критическую область при справедли-

Д^а _тй конкурирующей гипотезы) достигается тогда, когда

о

Рис. 25

«левая» и «правая» критические точки выбраны так, что вероятность попадания критерия в каждый из двух ин­тервалов критической области равна а/2:

Р (Z < 2_лев. _кр) - а/2, P(Z> г_прав. _кр) «а/2.

Поскольку Z — нормированная нормальная величина, а распределение такой величины симметрично относи­тельно нуля, критические точки симметричны относи­тельно нуля.

Таким образом, если обозначить правую границу дву­сторонней критической области через z_KP, то левая гра­ница равна — г_кр (рис. 25).

Итак, достаточно найти правую границу, чтобы найти саму двустороннюю критическую область Z<—г_кр, ^>2_кр и область принятия нулевой гипотезы (—z_Kp, z_Kp).

Покажем, как найти г_кр—правую границу двусторон­ней критической области, пользуясь функцией Лапласа ■*Ч²). Известно, что функция Лапласа определяет вероят-°сть попадания нормированной нормальной случайной ^еличины, например Z, в интервал (0, г):

P(0<Z<z) = <J)(z). (**)

^{к ка}к распределение Z симметрично относительно рав^{Я> То ве}Р^{0ЯТН0СТЬ} попадания Z в интервал (0, оо) t₀ ^Ha_o 1/2. Следовательно, если разбить этот интервал ^Ко^ ^гк_Р на интервалы (0, г_кр) и (г_кр, оо), то, по теореме

299

сложения,

Р (0 < Z < z_KP) + P (Z > г_кр) - 1/2, ₍

В силу (*) и (#*) получим

Ф(г_кр)+а/2=1/2. Следовательно,

Ф(г_кр) = (1-а)/2.

Отсюда заключаем: для того чтобы найти правую гп ницу двусторонней критической области (г_кр), достаточ_н найти значение аргумента функции Лапласа, которой соответствует значение функции, равное (1—а)/2. Torn двусторонняя критическая область определяется нера-венствами

или равносильным неравенством | Z | > г_кр, а область при- нятия нулевой гипотезы — неравенством—z_Kp < Z < г или равносильным неравенством | Z \ < г_кр. ^кр>

Обозначим значение критерия, вычисленное поданным наблюдений, через Z_Ha6n и сформулируем правило про­верки нулевой гипотезы.

Правило 1. Для того чтобы при заданном уровне зна­чимости а проверить нулевую гипотезу Н_о: М (Х) — М (Y) о равенстве математических ожиданий двух нормальных генеральных совокупностей с известными дисперсиями при конкурирующей гипотезе Н_г: М (Х)фМ (У), надо вычислить наблюденное значение критерия Z_Hae_a ⁼

= ^у и по таблице функции Лапласа найти

критическую точку по равенству <D_Zk =(1—а)/2.

Если |Z_Ha6jI|<z_Kp—нет оснований отвергнуть нуле­вую гипотезу.

Если |Z_Ha6jI|>z_KP—нулевую гипотезу отвергают.

Пример 1. По двум независимым выборкам, объемы которы^ соответственно равны л = 60 и т = 50, извлеченным из нормальны генеральных совокупностей, найдены выборочные средние ^° и у = 1275. Генеральные дисперсии известны: D(X)=12O, ^( При уровне значимости 0,01 проверить нулевую гипотезу Н_о'-= M(Y), при конкурирующей гипотезе Н^. М (X) ф М (Y).

Решение. Найдем наблюдаемое значение критерия:

У D(X)ln^-D{Y)ltn Y120/60+ 100/50 300

условию, конкурирующая гипотеза имеет вид М (X) ф М (У), fl° q_Mv критическая область — двусторонняя. ^я°^ЭТНайД^ем правую критическую точку:

ф(_2кр)=(1— <х)/2 = (1 — 0,01 )/2 = 0,495.

таблице функции Лапласа (см. приложение 2) находим z_KP = 2,58. П° как | 2_набл I > ²кр—нулевую гипотезу отвергаем. Другими

б

| I ру у

_ваМи, выборочные средние различаются значимо.

Второй случай. Нулевая гипотеза Н_о: М (X)— ,-МЮ- Конкурирующая гипотеза H_t: М (X) > М (Y). ** На практике такой случай имеет место, если про­ фессиональные соображения позволяют предположить, q_To генеральная средняя од- _нОй совокупности больше _геНеральной средней дру- _гой. Например, если введено усовершенствование техноло- Рис. 26

гического процесса, то есте­ственно допустить, что оно приведет к увеличению вы­пуска продукции. В этом случае строят правостороннюю критическую область, исходя из требования, чтобы вероят­ность попадания критерия в эту область в предположении справедливости нулевой гипотезы была равна принятому уровню значимости (рис. 26):

Р (Z > 2_КР) = а. (****)

Покажем, как найти критическую точку с помощью функции Лапласа. Воспользуемся соотношением (***):

Р (0 < Z < г_кр) + P(Z> 2_КР) = 1/2. В силу (**) и (****) имеем

Следовательно,

д заключаем: для того чтобы найти границу пра-^в°сторонней критической области (z_KP), достаточно найти значение аргумента функции Лапласа, которому соответ-_с^ТвУет значение функции, равное (1—2а)/2. Тогда право-_в^т°Р°нняя критическая область определяется неравенст-_н ^м Z > z_KV, а область принятия нулевой гипотезы — "равенством Z < г_кр.

ч_и "Р^авило 2. Для того чтобы при заданном уровне зна-^м°сти а проверить нулевую гипотезу Я_о: М (Х) = М (Y)

301

о равенстве математических ожиданий двух нормальных генеральных совокупностей с известными дисперсиями при конкурирующей гипотезе Н_г: М (X) > М (Y), надо вычислить наблюдавшееся значение критерия Z_Ha6jI ^

== ^х~^у и по таблице функции Лапласа найти

критическую точку из равенства Ф(2_нр) = (1—2а)/2.

Если Z_na6ll < г_кр — нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу.

Если Z_Ha6jI > z_KV—нулевую гипотезу отвергают.

Пример 2. По двум независимым выборкам, объемы которых соответственно равны и =10 и т=10, извлеченным из нормальных генеральных совокупностей, найдены выборочные средние x=14,3 и #=12,2. Генеральные дисперсии известны: D(X) = 22, D(F)=18. При уровне значимости 0,05 проверить нулевую гипотезу Я_о: М(Х)=, = М (Y), при конкурирующей гипотезе Я_х: М (X) > М (У).

Решение. Найдем наблюдаемое значение критерия;

14,3-12,2