§ 9. Сравнение исправленной выборочной дисперсии с гипотетической генеральной дисперсией нормальной совокупности

Пусть генеральная совокупность распределена нормально, причем генеральная дисперсия хотя и неиз­вестна, но имеются основания предполагать, что она равна гипотетическому (предполагаемому) значению al. На прак­тике сто устанавливается на основании предшествую­щего опыта или теоретически.

Пусть из генеральной совокупности извлечена выборка объема п и по ней найдена исправленная выборочная дисперсия 5² с k — n—1 степенями свободы. Требуется по исправленной дисперсии при заданном уровне значи­мости проверить нулевую гипотезу, состоящую в том, что генеральная дисперсия рассматриваемой совокупности равна гипотетическому значению о*².

Учитывая, что S² является несмещенной оценкой гене­ральной дисперсии, нулевую гипотезу можно записать так:

H₀:M(S*) = ol

Итак, требуется проверить, что математическое ожи-Дание исправленной дисперсии равно гипртетическому значению генеральной дисперсии. Другими словами, игре-

Уется установить, значимо или незначимо различаются ^и£^пРавленная выборочная и гипотетическая генеральная

^Ucnepcuu. _е На практике рассматриваемая гипотеза проверяется

^Ли нужно проверить точность приборов, инструментов'

293

станков, методов исследования и устойчивость техноло. гических процессов. Например, если известна допустимая характеристика рассеяния контролируемого размера дета. лей, изготавливаемых станком-автоматом, равная а%, _а найденная по выборке окажется значимо больше а\, _То станок требует подналадки.

В качестве критерия проверки нулевой гипотезы при. мем случайную величину (п—1) S²/o²₀. Эта величина слу. чайная, потому что в разных опытах S² принимает раз-личные, наперед неизвестные значения. Поскольку можно доказать, что она имеет распределение х^{2 с} k = n — \ степенями свободы (см. гл. XII, § 13), обозначим ее через X^s-

Итак, критерий проверки нулевой гипотезы

Критическая область строится в зависимости от вида конкурирующей гипотезы.

Первый случай. Нулевая гипотеза Н_о:о² = а$. Конкурирующая гипотеза Н_х:о² > а\.

В этом случае строят правостороннюю критическую область, исходя из требования, чтобы вероятность попа­дания критерия в эту область в предположении справед­ливости нулевой гипотезы была равна принятому уровню значимости:

Критическую точку %к_Р (a; k) находят по таблице кри­тических точек распределения %² (см. приложение 5), и тогда правосторонняя критическая область определяется неравенством %² > Хк_Р. а область принятия нулевой гипо­тезы—неравенством х² < Хк_Р-

Обозначим значение критерия, вычисленное по данным наблюдений, через х?шбл и сформулируем правило про­верки нулевой гипотезы.

Правило 1. Для того чтобы при заданном уровне зна­чимости а проверить нулевую гипотезу Н₀:о² = о1 о ра­венстве неизвестной генеральной дисперсии нормальной совокупности гипотетическому значению при конкурируй' щей гипотезе Н₁:о²>о1, надо вычислить наблюдаемое значение критерия Хнабл = («— 1)5²/°"§ и по таблице кр«£ тических точек распределения х². ^по заданному УР значимости а и числу степеней свободы k = n—1 критическую точку Хк_Р («;&)•

294

Если х2абл < Хк_Р —нет оснований отвергнуть нулевую _гйпотезу. Если хйабл > Хк_Р — нулевую гипотезу отвергают.

Пример 1. Из нормальной генеральной совокупности извлечена

_ы<5орка объема я =13 и по ней найдена исправленная выборочная

дисперсия s²=14,6. Требуется при уровне значимости 0,01 проверить

„улевую гипотезу #₀:а² = а²= 12, приняв в качестве конкурирующей

гипотезы Hi-.o² > 12.

решение. Найдем наблюденное значение критерия:

По условию, конкурирующая гипотеза имеет вид о² > 12, по­этому критическая область правосторонняя.

По таблице приложения 5, по уровню значимости 0,01 и числу степеней свободы k = n —1 = 13—1 = 12 находим критическую точку ^2 (0,01; 12) = 26,2.

Так как Х*_аб_Л < Х«_р —^нет оснований отвергнуть нулевую гипо­тезу. Другими словами, различие между исправленной дисперсией (14,6) и гипотетической генеральной дисперсией (12) — незначимое.

Второй случай. Нулевая гипотеза Я₀:а⁸ = а2. Конкурирующая гипотеза Н₁:а²фа²_о.

В этом случае строят двустороннюю критическую область, исходя из требования, чтобы вероятность попа­дания критерия в эту область в предположении справед­ливости нулевой гипотезы была равна принятому уровню значимости а.

Критические точки—левую и правую границы крити­ческой области—находят, требуя, чтобы вероятность по­падания критерия в каждой из двух интервалов крити­ческой области была равна а/2:

В таблице критических точек распределения х^а ука­заны лишь «правые» критические точки, поэтому возни­кает кажущееся затруднение в отыскании «левой» крити­ческой точки. Это затруднение легко преодолеть, если |^ринять во внимание, что события х² < Хлев.кр ^и X² > -^ Хлев.кр противоположны и, следовательно, сумма их вероятностей равна единице:

_п Р (X² < Хлев.кр) + Р (X² > Хлев.кр) = 1.

Отсюда

Р (X² > Хлев.кр) = 1 -Р (X² < Хлев.кр) = 1 ~(а/2).

Мы видим, что левую критическую точку можно ^Кать как правую (и значит, ее можно найти по таб-

295

лице), исходя из требования, чтобы вероятность попад_а ния критерия в интервал, расположенный правее этой точки, была равна 1 — (ос/2).

Правило 2. Для того чтобы при заданном уровне зн_а. чимости а проверить нулевую гипотезу о равенстве не" известной генеральной дисперсии о² нормальной сово" купности гипотетическому значению а\ при конкурируй щей гипотезе Н^.&ФаХ, надо вычислить наблюдаемое значение критерия Хнабл = (п — 1) s*/ol и по таблице найт_й левую критическую точку %1_Р(1—а/2; k) и правую кри. тическую точку Хк_Р(а/2;/г).

ЕСЛИ Хлев.кр< Хнабл <Хправ.кр —Нет ОСНОВЭНИЙ ОТВерр.

нуть нулевую гипотезу.

ЕСЛИ Хнабл < Хлев.кр ИЛИ Хнабл > Хправ.кр — Нулевую ГИПО-

тезу отвергают.

Пример 2. Из нормальной генеральной совокупности извлечена выборка объема /г = 13 и по ней найдена исправленная выборочная дисперсия s² = 10,3. Требуется при уровне значимости 0,02 проверить нулевую гипотезу Н₀:а² = а^=12, приняв в качестве конкурирующей гипотезы Hi'.а² Ф 12.

Решение. Найдем наблюдавшееся значение критерия:

= 10,3.

Так как конкурирующая гипотеза имеет вид а² ф 12, то крити­ческая область — двусторонняя.

По таблице приложения 5 находим критические точки: левую — Х£_р(1-а/2; k) = %*_p (1-0,02/2; 12) =х²_кр(0,99; 12) =3,57 и правую-X² (а/2; й) = Хк_Р(0,0Г, 12) = 26,2. Так как наблюдавшееся значение критерия принадлежит области принятия гипотезы (3,57 < 10,3 < < 26,2) — нет оснований ее отвергнуть. Другими словами, исправлен­ная выборочная дисперсия (10,3) незначимо отличается от гипотети­ческой генеральной дисперсии (12).

Третий случай. Конкурирующая гипотеза Я₁:0²<а².

Правило 3. При конкурирующей гипотезе Н₁^ш-о²<^а> находят критическую точку Хк_Р(1 —«'. k).

Если Хнабл > Хк_Р(1—«'. k) — нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу.

Если Хнабл <Хк_Р(1—«; fe) —нулевую гипотезу отвер­гают.

сия

Замечание 1. В случае, если найдена выборочная №^ctl*L сия D_B, в качестве критерия принимают случайную величи Х²'=и£>_в/о"о, которая имеет распределение х² с k = n— 1 степей*»- свободы, либо переходят к s^a = [п/(п — 1)] D_B. _рй-

Замечание 2. Если число степеней свободы k > 30, то м^ тическую точку можно найти приближенно по равенству Уилсов

296

_ГйлФ^еР^ти

_г определяют, используя'функцию Лапласа (см. приложение 2), ^ГД6 павенству Ф (г_а) = (1 -2а)/2.