§ 8. Сравнение двух дисперсий нормальных генеральных совокупностей

На практике задача сравнения дисперсий воз кает, если требуется сравнить точность приборов, струментов, самих методов измерений и т. д. ОчевиД ' предпочтительнее тот прибор, инструмент и метод, ^к° _g рый обеспечивает наименьшее рассеяние резул^ьта измерений, т. е. наименьшую дисперсию.

288

ру генеральные совокупности ХиУ распределены рмально. По независимым выборкам с объемами, соот-^ственно равными п₁ и п₂, извлеченным из этих сово-^р^_пНостей, найдены исправленные выборочные дисперсии $ я ^SV- Требуется по исправленным дисперсиям при Жданном уровне значимости а проверить нулевую гипо-³ _Зу₎ состоящую в том, что генеральные дисперсии рас­куриваемых совокупностей равны между собой:

H₀:D(X) = D(Y).

Учитывая, что исправленные дисперсии являются несмещенными оценками генеральных дисперсий (см. гл. XVI, § 13), т. е.

нулевую гипотезу можно записать так:

Таким образом, требуется проверить, что математи­ческие ожидания исправленных выборочных дисперсий равны между собой. Такая задача ставится потому, что обычно исправленные дисперсии оказываются различными. Возникает вопрос: значимо (существенно) или незна­чимо различаются исправленные диспер­сии?

Если окажется, что нулевая гипотеза справедлива," т. е. генеральные дисперсии одинаковы, то различие ис­правленных дисперсий незначимо и объясняется случай­ными причинами, в частности случайным отбором объектов выборки. Например, если различие исправленных выбо­рочных дисперсий результатов измерений, выполненных Двумя приборами, оказалось незначимым, то приборы имеют одинаковую точность.

Если нулевая гипотеза отвергнута, т. е. генеральные

Дисперсии неодинаковы, то различие исправленных дис-

^Персий значимо и не может быть объяснено случайными

Ричинами, а является следствием того, что сами генераль-

_и^Ые Дисперсии различны. Например, если различие

^С11равленных выборочных дисперсий результатов изме-

^ Ний, произведенных двумя приборами, оказалось зна-

^мьщ, то точность приборов различна. ₀ " качестве критерия проверки нулевой гипотезы н генеральных дисперсий примем отношение исправленной дисперсии к меньшей, т. е. слу-

'81 ₂₉

чайную величину

Величина F при условии справедливости уев_о гипотезы имеет распределение Фишера — Снедекоп-

(см. гл. XII, § 15) со степенями свободы k^ — n^ \

fe₂ = n₂—1, где п_г — объем выборки, по которой вычислена большая исправленная дисперсия, п₂ — объем выборки по которой найдена меньшая дисперсия. Напомним, _4Tq распределение Фишера — Снедекора зависит только от чи­сел степеней свободы и не зависит от других параметров

Критическая область строится в зависимости от вида конкурирующей гипотезы.

Первый случай. Нулевая гипотеза H₀:D(X)~D(Y). Конкурирующая гипотеза H_X:D (X) > D (Y).

В этом случае строят одностороннюю, а именно пра­востороннюю, критическую область, исходя из требова­ния, чтобы вероятность попадания критерия F в эту область в предположении справедливости нулевой гипо­тезы была равна принятому уровню значимости:

P[F>F_KV(a; k_lt ft_a)]=a.

Критическую точку F_KP (a; k_x, k₂) находят по таблице критических точек распределения Фишера—Снедекора (см. приложение 7), и тогда правосторонняя критическая область определяется неравенством F > F_KP, а область принятия нулевой гипотезы — неравенством F<F_KV.

Обозначим отношение большей исправленной диспер' сии к меньшей, вычисленное по данным наблюдений; через /^иабл и сформулируем правило проверки нулевой гипотезы.

Правило 1. Для того чтобы при заданном уровне зн^' чимости проверить нулевую гипотезу H₀:D(X) = D(Y[ о равенстве генеральных дисперсий нормальных совоку^' ностей при конкурирующей гипотезе H_X:D (X) > D(Y>[ надо вычислить отношение большей исправленной диспер сии к меньшей, т. е.

Р _С2 /_С2

•* набл — "б'^м»

и по таблице критических точек распределения Фишер³ ₍ Снедекора, по заданному уровню значимости а и числ^, степеней свободы k_l и k₂ (&_х—число степеней свобод большей исправленной дисперсии) найти критическ} точку F_Ha6jI(a; k_x, k_t).

290

Если F_Ha6jl<C F_KP— нет оснований отвергнуть нулевую _гцпотезу. Если F_Ha6jl> F_Kp — нулевую гипотезу отвергают.

Пример 1. По двум независимым выборкам объемов п_х=12 и _rt==l5, извлеченным из нормальных генеральных совокупностей v и У г найдены исправленные выборочные дисперсии sx= 11,41 и j2 =6,52. При уровне значимости 0,05 проверить нулевую гипотезу H.-D(X) = D(Y) о равенстве генеральных дисперсий при конкури­рующей гилотезе H_X:D (X) > D (Y).

^v решение. Найдем отношение большей исправленной дисперсии _к меньшей:

/⁷ = 11,41/6,52= 1,75.

Конкурирующая гипотеза имеет вид D (X) > D (Y), поэтому крити­ческая область — правосторонняя.

По таблице приложения 7, по уровню значимости а = 0,05 и числам степеней свободы *₁=12—1 = 11 и£₂=15—1 = 14 находим критическую точку F_Kj, (0,05; 11, 14) = 2,56.

Так как /^абл < -^кр — нет оснований отвергнуть нулевую гипо­тезу о равенстве генеральных дисперсий.

Второй случай. Нулевая гипотеза H₀:D(X) = D(Y). Конкурирующая гипотеза H_X:D (X)^D(Y).

В этом случае строят двустороннюю критическую область, исходя из требования, чтобы вероятность попа-

о

Рис. 24

Дания критерия в эту область в предположении спра­ведливости нулевой гипотезы была равна принятому Уровню значимости а.

Как выбрать границы критической области? Оказы-^Вается, что наибольшая мощность (вероятность попадания ^кРитерия в критическую область при справедливости ^курирующей гипотезы)достигается тогда, когда вероят-"°^сть попадания критерия в каждый из двух интервалов Ритической области равна а/2.

_к Таким образом, если обозначить черег F_x левую границу Ритической области и через F₂ — правую, то должны ^еть место соотношения (рис. 24):

Р (F < FJ = а/2, Р (F > F_t) =а/2.

видим, что достаточно найти критические точки, найти саму критическую область: F <F_lf F > F_%J

291

а также область принятия нулевой гипотезы: F_t < F <; р Как практически отыскать критические точки? ^а"

Правую критическую точку F₂ = F_KV(a/2; k_t, k₂) нахо, дят непосредственно по таблице критических точек р_аСч пределения Фишера—Снедекора по уровню значимости <х/;> и степеням свободы /г_х и k₂.

Однако левых критических точек эта таблица не со, держит и поэтому найти F_t непосредственно по таблиц^ невозможно. Существует способ, позволяющий преодолеть это затруднение. Однако мы не будем его описывать поскольку можно левую критическую точку и не отыски' вать. Ограничимся изложением того, как обеспечить по_ч падание критерия F в двустороннюю критическую облает^ с вероятностью, равной принятому уровню значимости с* Оказывается, достаточно найти правую критическую точку F₂ при уровне значимости, вдвое меньшем заданного Тогда не только вероятность попадания критерия в «пр^ вую часть» критической области (т. е. правее F₂) равна а/% но и вероятность попадания этого критерия в «леву^ часть» критической области (т. е. левее F_x) также равн^ а/2. Так как эти события несовместны, то вероятное^ попадания рассматриваемого критерия во всю двусторо^ нюю критическую область будет равна а/2 + а/2 = а.

Таким образом, в случае конкурирующей гипотез^ H₁:D(X)¥=D(Y) достаточно найти критическую точ F F{2k k)

Правило 2. Для того чтобы при заданном уровне чимости а проверить нулевую гипотезу о равенстве г ральных дисперсий нормально распределенных совокуг, ностей при конкурирующей гипотезе H_t'D (Х)фр(У) надо вычислить отношение большей исправленной персии к меньшей, т. е. F_tta6]1 = sl/s^ и по таблице тических точек распределения Фишера—Снедекора уровню значимости а/2 (вдвое меньшем заданного) и ч_Сч лам степеней свободы k₁ и к_г {k₁—число степеней свобод^ большей дисперсии) найти критическую точку РКЩ

Если /⁷„абл<^к_Р—нет оснований отвергнуть н гипотезу. Если F_ni6lt > F_KV—нулевую гипотезу отвергаю^

Пример 2. По двум независимым выборкам, объемы * Р^х соответственно равны П!=10 и п₂=18, извлеченным из нор^м_ы(- ч\ генеральных совокупностей X и Y, найдены исправленные _а_1_п^ч-ные дисперсии s^^l.23 и s2, = 0,41. При уровне значимости u.i

292

„„верить нулевую гипотезу о равенстве генеральных дисперсий при "^Рнкурирующей гипотезе H₁:D(X)^D(Y).

*° решение. Найдем отношение большей исправленной дисперсии _меньшей:

* ^набл= 1,23/0,41=3.

_п условию, конкурирующая гипотеза имеет вид D (X) ф D (Y),

этому критическая область — двусторонняя. ^п° По таблице, по уровню значимости, вдвое меньшем заданного,

_яСПерсий отвергаем. Другими словами, выборочные исправленные дисперсии различаются значимо. Например, если бы рассматриваемые писперсии характеризовали точность двух методов измерений, то слеДУ^{ет п}Р^еД^{почесть тот} метод, который имеет меньшую дисперсию (0,41)-