§ 6. Отыскание левосторонней и двусторонней критических областей

Отыскание левосторонней и двусторонней кри­тических областей сводится (так же, как и для право­сторонней) к нахождению соответствующих критических точек.

Левосторонняя критическая область определяется (см. § 4) неравенством /С < /г_кр (А_кр < 0). Критическую точку находят исходя из требования, чтобы при справед­ливости нулевой гипотезы вероятность того, что критерии примет значение, меньшее k_KV, была равна принятом) уровню значимости:

P(K<k_KV) = a.

Двусторонняя критическая область определяв (см. § 4) неравенствами К<К К Ж Критичес* точки находят исходя из требования, чтобы при ^{с v}

286

-ливостя нулевой гипотезы сумма вероятностей того, to критерий примет значение, меньшее k_t или большее k_t, Р^авна принятому уровню значимости:

д_сйо, что критические точки могут быть выбраны бесчис­ленным множеством способов. Если же распределение кри-_ерля симметрично относительно нуля и имеются основания ,_нз_Пример, для увеличения мощности*') выбрать симмет­ричные относительно нуля точки — /г_кр и /г_кр(£_кр>0), то

P(K<—k_K9) = P{K>k_Kt). учитывая (*), получим

Это соотношение и служит для отыскания критических точек двусторонней критической области.

Как уже было указано ,(см. § 5), критические точки находят по соответствующим таблицам.

§ 7. Дополнительные сведения о выборе критической области. Мощность критерия

Мы строили критическую область, исходя из требования, чтобы вероятность попадания в нее критерия была равна а при условии, что нулевая гипотеза спра­ведлива. Оказывается целесообразным ввести в рассмот­рение вероятность попадания критерия в критическую область при условии, что нулевая гипотеза неверна и, следовательно, справедлива конкурирующая.

Мощностью критерия называют вероятность попада­ния критерия в критическую область при условии, что справедлива конкурирующая гипотеза. Другими словами, мощность критерия есть вероятность того, что нулевая гипотеза будет отвергнута, если верна конкурирующая гипотеза.

Пусть для проверки гипотезы принят определенный Уровень значимости и выборка имеет фиксированный объем. Остается произвол в выборе критической области. ¹'окажем, что ее целесообразно построить так, чтобы ^м01Дность критерия была максимальной. Предварительно Убедимся, что если вероятность ошибки второго рода

*' Определение мощности дано в § 7.

287

(принять неправильную гипотезу) равна Р, то мощ_н равна 1—р. Действительно, если Р — вероятность второго рода, т. е. события «принята нулевая р

причем справедлива конкурирующая», то мощность ^ терия равна 1—р. ^

Пусть мощность 1—р возрастает; следователе уменьшается вероятность р совершить ошибку вто^ рода. Таким образом, чем мощность больше, тем ность ошибки второго рода меньше.

Итак, если уровень значимости уже выбран, то тическую область следует строить так, чтобы критерия была максимальной. Выполнение этого ро^ ния должно обеспечить минимальную ошибку втор₀5 рода, что, конечно, желательно. °

Замечание 1. Поскольку вероятность события «ошибка в? рого рода допущена» равна р\ то вероятность противоположно?" события «ошибка второго рода не допущена» равна 1—Р, т. е. щ_Оц° ности критерия. Отсюда следует, что мощность критерия есть ^ ятность того, что не будет допущена ошибка второго рода.

Замечание 2. Ясно, что чем меньше вероятности овоц первого и второго рода, тем критическая область «лучше». Однак₀ при заданном объеме выборки уменьшить одновременна аир невозможно; если уменьшить а, то Р будет возрастать, Например, если принять сс = О, то будут приниматься все гипотезы' в том числе и неправильные, т. е. возрастает вероятность Р ошибки второго рода.

Как же выбрать а наиболее целесообразно? Ответ на этот вопроо зависит от «тяжести последствий» ошибок для каждой конкретной задачи. Например, если ошибка первого рода повлечет большие по. тери, а второго рода — малые, то следует принять возможно меньшее а.

Если а уже выбрано, то, пользуясь теоремой Ю. Неймана и Э. Пирсона, изложенной в более полных курсах, можно построить критическую область, для которой Р будет минимальным и, следова­тельно, мощность критерия максимальной.

Замечание 3. Единственный способ одновременного уменьшения вероятностей ошибок первого и второго рода состоит в увеличении объема выборок.