§ 5. Отыскание правосторонней критической области

Как найти критическую область? Обоснованный _ет на этот вопрос требует привлечения довольно слож* & теории. Ограничимся ее элементами. Для определен-¹¹⁰ _И начнем с нахождения правосторонней критической лас, которая определяется неравенством /С> Аг_кр, ^гД^е \ у 0. Видим, что для отыскания правосторонней кри-яческой области достаточно найти критическую точку. Следовательно, возникает новый вопрос: как ее найти? Для ее нахождения задаются достаточной малой ве­роятностью—уровнем значимости а. Затем ищут крити­ческую точку k_Kp, исходя из требования, чтобы при усло­вии справедливости нулевой гипотезы вероятность того, что критерий К примет значение, большее fe_Kp, была равна принятому уровню значимости:

Для каждого критерия имеются соответствующие таб­лицы, по которым и находят критическую точку, удов­летворяющую этому требованию.

Замечание 1. Когда критическая точка уже найдена, вычис­ляют по данным выборок наблюденное значение критерия и, если окажется, что /С_Набл > *кр. то нулевую гипотезу отвергают; если же ^набл < *кр. ^{т0 нет} оснований, чтобы отвергнуть нулевую гипотезу.

Пояснение. Почему правосторонняя критическая область была определена исходя из требования, чтобы при справедливости нулевой гипотезы выполнялось соотно­шение

Поскольку вероятность события K~>k_KV мала (а—малая

вероятность), такое событие при справедливости нулевой

гипотезы, в силу принципа практической невозможности

^■"овероятных событий, в единичном испытании не должно

_т^аступить (см. гл. II, § 4). Если все же оно произошло,

'^е- наблюдаемое значение критерия оказалось больше k_KV,

^Это можно объяснить тем, что нулевая гипотеза ложна

285

и, следовательно, должна быть отвергнута. Таким зом, требование (*) определяет такие значения крцт_е ^^а" при которых нулевая гипотеза отвергается, а они 1?^И5)> ставляют правостороннюю критическую область. ^с°~

Замечание 2. Наблюдаемое значение критерия мо*_ет ваться большим k_KV не потому, что нулевая гипотеза ложц_а °^Ка" другим причинам (малый объем выборки, недостатки методики э^Э "° римента и др.)- В этом случае, отвергнув правильную нулевую ^КсПе" тезу, совершают ошибку первого рода. Вероятность этой ощ °' равна уровню значимости а. Итак, пользуясь требованием (*)^Ибки с вероятностью а рискуем совершить ошибку первого рода. ^Mbl

Заметим кстати, что в книгах по контролю качества проду_к вероятность признать негодной партию годных изделий назьгв «риском производителя», а вероятность принять негодную партию¹ «риском потребителя». ~~

Замечание 3. Пусть нулевая гипотеза принята; ошибочн думать, что тем самым она доказана. Действительно, известно *_т° один пример, подтверждающий справедливость некоторого общего утверждения, еще не доказывает его. Поэтому более правильно гово-рить «данные наблюдений согласуются с нулевой гипотезой и, следе вательно, не дают оснований ее отвергнуть».

На практике для большей уверенности принятия гипотезы ее проверяют другими способами или повторяют эксперимент, увеличив объем выборки.

Отвергают гипотезу более категорично, чем принимают. Действи­тельно, известно, что достаточно привести один пример, противореча­щий некоторому общему утверждению, чтобы это утверждение отверг­нуть. Если оказалось, что наблюдаемое значение критерия принадлежит критической области, то этот факт и служит примером, противоречащим нулевой гипотезе, что позволяет ее отклонить.