§ 1. Статистическая гипотеза. Нулевая

и конкурирующая, простая и сложная гипотезы

Часто необходимо знать закон распределения _ейеральной совокупности. Если закон распределения неизвестен, но имеются основания предположить, что он _йМеет определенный вид (назовем его А), выдвигают ги­потезу: генеральная совокупность распределена по за-_коНу А. Таким образом, в этой гипотезе речь идет о в и де предполагаемого распределения.

Возможен случай, когда закон распределения известен, _а его параметры неизвестны. Если есть основания пред­положить, что неизвестный параметр в равен определен­ному значению 0_О, выдвигают гипотезу: в = 6₀. Таким образом, в этой гипотезе речь идет о предполагае­мой величине параметра одного известного рас­пределения.

Возможны и другие гипотезы: о равенстве параметров двух или нескольких распределений, о независимости выборок и многие другие.

Статистической называют гипотезу о виде неизвест­ного распределения, или о параметрах известных рас­пределений.

Например, статистическими являются гипотезы:

1. генеральная совокупность распределена по закону Пуассона;

2. дисперсии двух нормальных совокупностей равны между собой.

В первой гипотезе сделано предположение о виде ^Неизвестного распределения, во второй—о параметрах ^ДвУх известных распределений.

Гипотеза «на Марсе есть жизнь» не является статисти-_о^еской, поскольку в ней не идет речь ни о виде, ни параметрах распределения.

Наряду с выдвинутой гипотезой рассматривают и про-_От °Речащую ей гипотезу. Если выдвинутая гипотеза будет

?P^rHyTa_f то имеет место противоречащая гипотеза. По

у, причине эти гипотезы целесообразно различать. Улевой (основной) называют выдвинутую гипотезу Н₉.

281

Конкурирующей (альтернативной) называют гипот #!, которая противоречит нулевой. ^езУ

Например, если нулевая гипотеза состоит в пре_Дп ложении, что математическое ожидание а нормально' распределения равно 10, то конкурирующая гипоте₃^Г° в частности, может состоять в предположении, чтоа^^¹ Коротко это записывают так: Я₀:а=10; Н_г:аф\^_ш ^J-

Различают гипотезы, которые содержат только о_Дн и более одного предположений. °

Простой называют гипотезу, содержащую только од_н предположение. Например, если Я, — параметр показатель⁰ ного распределения, то гипотеза #₀:Х. = 5 — простая. Ги потеза Я_о: математическое ожидание нормального р_ас" пределения равно 3 (а известно) — простая.

Сложной называют гипотезу, которая состоит из ко-нечного или бесконечного числа простых гипотез. Напри-мер, сложная гипотеза Н: % > 5 состоит из бесчисленного множества простых вида Я,-;^ = 6,-, где b_l — любое число большее 5. Гипотеза Я_о: математическое ожидание нор! мального распределения равно 3 (а неизвестно)—сложная.

§ 2. Ошибки первого и второго рода

Выдвинутая гипотеза может быть правильной или неправильной, поэтому возникает необходимость ее проверки. Поскольку проверку производят статистиче­скими методами, ее называют статистической. В итоге статистической проверки гипотезы в двух случаях может быть принято неправильное решение, т. е. могут быть допущены ошибки двух родов.

Ошибка первого рода состоит в том, что будет отверг­нута правильная гипотеза.

Ошибка второго рода состоит в том,' что будет принята неправильная гипотеза.

Подчеркнем, что последствия этих ошибок могут ока­заться весьма различными. Например, если отвергнут⁰ правильное решение «продолжать строительство жилоп¹ дома», то эта ошибка первого рода повлечет материалу ный ущерб; если же принято неправильное решение «пр⁽' должать строительство», несмотря на опасность обвз-"¹ стройки, то эта ошибка второго рода может повлечь ^rl бель людей. Можно привести примеры, когда оши^ первого рода влечет более тяжелые последствия, ошибка второго рода.

282

Замечание 1. Правильное решение может быть принято также _йвух случаях: 0 ** 1) гипотеза принимается, причем и в действительности она пра-

на;

2) гипотеза отвергается, причем и в действительности она неверна. Замечание 2. Вероятность совершить ошибку первого рода о обозначать через а; ее называют уровнем значимости. Наи- часто уровень значимости принимают равным 0,05 или 0,01. д_И1 например, принят уровень значимости, равный 0,05, то это k _аЧ'ает, что в пяти случаях из ста имеется риск допустить ошибку °³рвого рода (отвергнуть правильную гипотезу).